內積空間
一個希爾伯特空間 H 是配備內積 ⟨·,·⟩ 的向量空間，該內積定義幾何性質，同時滿足完備性條件（每個柯西序列在 H 中收斂）。
對於量子力學，H 可以是有限維（量子位、自旋系統）或無限維（位置、動量）。兩個態 |ψ⟩ 與 |φ⟩ 的內積是 ⟨ψ|φ⟩，一個複數。
歸一化： 一個量子態 |ψ⟩ 是單位向量：⟨ψ|ψ⟩ = 1。因此態空間是 H 中的單位球面。
正交性： 兩個態 |ψ⟩ 與 |φ⟩ 正交當 ⟨ψ|φ⟩ = 0。正交態是最大可區分的：設計用來檢測 |ψ⟩ 的測量在找到系統處於 |φ⟩ 的概率為零。
基： 任何完備正交歸一集合 {|eᵢ⟩} 滿足 ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ 張成 H。量子位的計算基 {|0⟩, |1⟩} 由兩個正交單位向量組成。
測量作為投影
一個可觀測量創建一組本徵態 {|aᵢ⟩} 形成正交歸一基。態 |ψ⟩ 展開為：
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
係數 cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ 是 |ψ⟩ 在本徵態 |aᵢ⟩ 上的投影 — 它測量 |ψ⟩ 有多少指向 |aᵢ⟩ 方向。
玻恩規則：P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (投影長度)²。
幾何上：概率等於態向量在本徵空間上的投影長度的平方。投影越長，該結果越可能。
這正是分解向量為分量的古典規則 — 除了在量子力學中，每次測量只有一個分量「存活」，該分量存活的概率等於其平方長度。
量子位態參數化
量子位態 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 滿足 |α|² + |β|² = 1，有無限多種選擇 — 但許多物理上是等價的。整體相位 e^(iφ)|ψ⟩ 與 |ψ⟩ 物理上不可區分（因為概率不變，|e^(iφ)α|² = |α|²）。
移除整體相位後，量子位態恰好依賴於兩個實參數：
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
其中 θ ∈ [0°, 180°] 是極角，φ ∈ [0°, 360°) 是方位角。這正是 ℝ³ 中單位球面上一點的球面坐標 — 布洛赫球。
極點：
- θ = 0：|ψ⟩ = |0⟩（北極）
- θ = 180°：|ψ⟩ = |1⟩（南極）
- θ = 90°：|ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩（赤道態，包括 |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2）
正交態位於布洛赫球上的對跖點。|0⟩ & |1⟩ 在相反的極點；|+⟩ & |−⟩ 在對跖的赤道點。
閱讀布洛赫球
量子位門是酉變換 U，將布洛赫球映射到自身 — 一次旋轉。泡利 X 門（類似於古典 NOT）將 |0⟩ → |1⟩ & |1⟩ → |0⟩。在布洛赫球上，X 執行繞 x 軸 180° 旋轉：北極映射到南極。
雙量子位希爾伯特空間
兩個量子位 A & B 的希爾伯特空間是張量積 H_A ⊗ H_B。基態：|00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩（四維空間）。
一個乘積態（或可分離態）具有形式：
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
例如：|ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ & |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩。聯合態：
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
注意四個振幅（αγ, αδ, βγ, βδ）滿足一個約束：矩陣 [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] 有秩 1 — 它分解為外積。
一個糾纏態是任何不能寫成乘積態的態。最著名的：貝爾態
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
振幅矩陣 [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] 有秩 2 — 它不能分解為外積。沒有單個量子位態描述該系統。
測試可分離性
施密特分解提供了糾纏的幾何判別準則：一個雙部分態是可分離的當且僅當其施密特秩為 1。施密特秩等於振幅係數矩陣的非零奇異值的個數。
對於一個雙量子位態 |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩，形成 2×2 係數矩陣 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]。計算奇異值（C†C 的特徵值的平方根）。可分離 ↔ 恰好一個非零奇異值。