Lo Spazio del Prodotto Interno
Uno spazio di Hilbert H è uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno ⟨·,·⟩ che definisce la geometria, insieme a una condizione di completezza (ogni successione di Cauchy converge in H).
Per la meccanica quantistica, H può essere finito-dimensionale (qubit, sistemi di spin) o infinito-dimensionale (posizione, momento). Il prodotto interno di due stati |ψ⟩ e |φ⟩ è ⟨ψ|φ⟩, un numero complesso.
Normalizzazione: uno stato quantistico |ψ⟩ è un vettore unitario: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Lo spazio degli stati è quindi la sfera unitaria in H.
Ortogonalità: due stati |ψ⟩ e |φ⟩ sono ortogonali quando ⟨ψ|φ⟩ = 0. Gli stati ortogonali sono massimamente distinguibili: una misurazione progettata per rilevare |ψ⟩ ha probabilità zero di trovare il sistema in |φ⟩.
Base: qualsiasi insieme ortonormale completo {|eᵢ⟩} con ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ genera H. La base computazionale {|0⟩, |1⟩} per un qubit consiste di due vettori unitari ortogonali.
Misura come Proiezione
Un osservabile crea un insieme di autostati {|aᵢ⟩} che formano una base ortonormale. Lo stato |ψ⟩ si espande come:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Il coefficiente cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ è la proiezione di |ψ⟩ sull'autostato |aᵢ⟩ — misura quanto di |ψ⟩ punta nella direzione di |aᵢ⟩.
La regola di Born: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (lunghezza della proiezione)².
Geometricamente: la probabilità è uguale al quadrato della lunghezza della proiezione del vettore di stato sullo spazio proprio. Più lunga è la proiezione, più probabile è tale risultato.
Questa è esattamente la regola classica per scomporre un vettore in componenti — tranne che nella meccanica quantistica, solo una componente 'sopravvive' a ogni misurazione, e la probabilità di quale sopravviva è uguale alla sua lunghezza al quadrato.
Parametrizzazione degli Stati dei Qubit
Uno stato di qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ con |α|² + |β|² = 1 ha infinite scelte — ma molte sono fisicamente equivalenti. Una fase globale complessiva e^(iφ)|ψ⟩ è fisicamente indistinguibile da |ψ⟩ (le probabilità rimangono inalterate perché |e^(iφ)α|² = |α|²).
Dopo aver rimosso la fase globale, uno stato di qubit dipende esattamente da due parametri reali:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
dove θ ∈ [0°, 180°] è l'angolo polare e φ ∈ [0°, 360°) è l'angolo azimutale. Questi sono esattamente le coordinate sferiche di un punto su una sfera unitaria in ℝ³ — la sfera di Bloch.
Poli:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (polo nord)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (polo sud)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (stati equatoriali, incluso |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Gli stati ortogonali si trovano in punti antipodali sulla sfera di Bloch. |0⟩ e |1⟩ sono ai poli opposti; |+⟩ e |−⟩ sono in punti equatoriali antipodali.
Lettura della Sfera di Bloch
Un gate di qubit è una trasformazione unitaria U che mappa la sfera di Bloch su se stessa — una rotazione. Il gate Pauli X (analogo a un NOT classico) mappa |0⟩ → |1⟩ e |1⟩ → |0⟩. Sulla sfera di Bloch, X esegue una rotazione di 180° attorno all'asse x: il polo nord si mappa al polo sud.
Spazio di Hilbert a Due Qubit
Lo spazio di Hilbert di due qubit A e B è il prodotto tensoriale H_A ⊗ H_B. Stati di base: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (spazio quadridimensionale).
Uno stato di prodotto (o stato separabile) ha la forma:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Per esempio: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ e |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Lo stato congiunto:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Nota che i quattro coefficienti (αγ, αδ, βγ, βδ) soddisfano un vincolo: la matrice [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] ha rango 1 — si fattorizza come un prodotto esterno.
Uno stato di entanglement è qualsiasi stato che NON può essere scritto come uno stato di prodotto. Il più famoso: lo stato di Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
La matrice dei coefficienti [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] ha rango 2 — non può fattorizzarsi come un prodotto esterno. Nessuno stato di qubit individuale descrive il sistema.
Test di Separabilità
La decomposizione di Schmidt fornisce un criterio geometrico per l'entanglement: uno stato bipartito è separabile se e solo se il suo rango di Schmidt è 1. Il rango di Schmidt è uguale al numero di valori singolari non-zero della matrice dei coefficienti di ampiezza.
Per uno stato a due qubit |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, forma la matrice dei coefficienti 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Calcola i valori singolari (radici quadrate degli autovalori di C†C). Separabile ↔ esattamente un valore singolare non-zero.