El Espacio del Producto Interior
Un espacio de Hilbert H es un espacio vectorial equipado con un producto interior ⟨·,·⟩ que define la geometría, junto con una condición de completitud (toda sucesión de Cauchy converge en H).
Para la mecánica cuántica, H puede ser de dimensión finita (qubits, sistemas de espín) o de dimensión infinita (posición, momento). El producto interior de dos estados |ψ⟩ y |φ⟩ es ⟨ψ|φ⟩, un número complejo.
Normalización: un estado cuántico |ψ⟩ es un vector unitario: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Por lo tanto, el espacio de estados es la esfera unitaria en H.
Ortogonalidad: dos estados |ψ⟩ y |φ⟩ son ortogonales cuando ⟨ψ|φ⟩ = 0. Los estados ortogonales son máximamente distinguibles: una medición diseñada para detectar |ψ⟩ tiene probabilidad cero de encontrar el sistema en |φ⟩.
Base: cualquier conjunto ortonormal completo {|eᵢ⟩} con ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ genera H. La base computacional {|0⟩, |1⟩} para un qubit consta de dos vectores unitarios ortogonales.
Medición como Proyección
Un observable crea un conjunto de autoestados {|aᵢ⟩} que forman una base ortonormal. El estado |ψ⟩ se expande como:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
El coeficiente cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ es la proyección de |ψ⟩ sobre el autoestado |aᵢ⟩ — mide cuánto de |ψ⟩ apunta en la dirección de |aᵢ⟩.
La regla de Born: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (longitud de la proyección)².
Geométricamente: la probabilidad es igual al cuadrado de la longitud de la proyección del vector de estado sobre el espacio propio. Cuanto más larga sea la proyección, más probable es ese resultado.
Esta es exactamente la regla clásica para descomponer un vector en componentes — excepto que en la mecánica cuántica, solo un componente 'sobrevive' en cada medición, y la probabilidad de cuál sobrevive es igual a su longitud al cuadrado.
Parametrizando Estados de Qubits
Un estado de qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ con |α|² + |β|² = 1 tiene infinitas opciones — pero muchas son físicamente equivalentes. Una fase global e^(iφ)|ψ⟩ es físicamente indistinguible de |ψ⟩ (las probabilidades no cambian porque |e^(iφ)α|² = |α|²).
Después de eliminar la fase global, un estado de qubit depende de exactamente dos parámetros reales:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
donde θ ∈ [0°, 180°] es el ángulo polar y φ ∈ [0°, 360°) es el ángulo azimutal. Estos son exactamente las coordenadas esféricas de un punto en una esfera unitaria en ℝ³ — la esfera de Bloch.
Polos:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (polo norte)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (polo sur)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (estados ecuatoriales, incluyendo |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Estados ortogonales se sientan en puntos antípodas en la esfera de Bloch. |0⟩ e |1⟩ están en polos opuestos; |+⟩ y |−⟩ están en puntos ecuatoriales antípodas.
Leyendo la Esfera de Bloch
Una compuerta de qubit es una transformación unitaria U que mapea la esfera de Bloch a sí misma — una rotación. La compuerta Pauli X (análoga a un NOT clásico) mapea |0⟩ → |1⟩ e |1⟩ → |0⟩. En la esfera de Bloch, X realiza una rotación de 180° alrededor del eje x: el polo norte se mapea al polo sur.
Espacio de Hilbert de Dos Qubits
El espacio de Hilbert de dos qubits A y B es el producto tensorial H_A ⊗ H_B. Estados base: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (espacio de dimensión cuatro).
Un estado de producto (o estado separable) tiene la forma:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Por ejemplo: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ y |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. El estado conjunto:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Observa que los cuatro coeficientes (αγ, αδ, βγ, βδ) satisfacen una restricción: la matriz [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] tiene rango 1 — se factoriza como un producto externo.
Un estado entrelazado es cualquier estado que NO puede escribirse como un estado de producto. El más famoso: el estado de Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
La matriz de coeficientes [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] tiene rango 2 — no puede factorizarse como un producto externo. Ningún estado individual de qubit describe el sistema.
Probando Separabilidad
La descomposición de Schmidt proporciona un criterio geométrico para el entrelazamiento: un estado de dos partes es separable si y solo si su rango de Schmidt es 1. El rango de Schmidt es igual al número de valores singulares no cero de la matriz de coeficientes amplitud.
Para un estado de dos qubits |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, forma la matriz de coeficientes 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Calcula los valores singulares (raíces cuadradas de los valores propios de C†C). Separable ↔ exactamente un valor singular no cero.