L'Espace du Produit Interne
Un espace de Hilbert H est un espace vectoriel équipé d'un produit interne ⟨·,·⟩ qui définit la géométrie, ainsi qu'une condition de complétude (toute suite de Cauchy converge dans H).
Pour la mécanique quantique, H peut être fini-dimensionnel (qubits, systèmes de spin) ou infini-dimensionnel (position, momentum). Le produit interne de deux états |ψ⟩ et |φ⟩ est ⟨ψ|φ⟩, un nombre complexe.
Normalisation : un état quantique |ψ⟩ est un vecteur unitaire : ⟨ψ|ψ⟩ = 1. L'espace d'état est donc la sphère unitaire dans H.
Orthogonalité : deux états |ψ⟩ et |φ⟩ sont orthogonaux quand ⟨ψ|φ⟩ = 0. Les états orthogonaux sont maximalement distinguables : une mesure conçue pour détecter |ψ⟩ a une probabilité nulle de trouver le système dans |φ⟩.
Base : tout ensemble complet et orthonormal {|eᵢ⟩} avec ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ engendre H. La base computationnelle {|0⟩, |1⟩} pour un qubit se compose de deux vecteurs unitaires orthogonaux.
La Mesure comme Projection
Un observable crée un ensemble d'états propres {|aᵢ⟩} qui forment une base orthonormale. L'état |ψ⟩ s'exprime comme :
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Le coefficient cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ est la projection de |ψ⟩ sur l'état propre |aᵢ⟩ — il mesure combien de |ψ⟩ pointe dans la direction |aᵢ⟩.
La règle de Born : P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (longueur de projection)².
Géométriquement : la probabilité égale le carré de la longueur de projection du vecteur d'état sur l'espace propre. Plus longue est la projection, plus probable est ce résultat.
C'est exactement la règle classique pour décomposer un vecteur en composantes — sauf qu'en mécanique quantique, une seule composante « survit » à chaque mesure, et la probabilité que ce soit celle-là égale sa longueur au carré.
Paramétrisation des États de Qubit
Un état de qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ avec |α|² + |β|² = 1 a infiniment de choix — mais beaucoup sont physiquement équivalents. Une phase globale e^(iφ)|ψ⟩ est physiquement indistincte de |ψ⟩ (les probabilités ne changent pas parce que |e^(iφ)α|² = |α|²).
Après suppression de la phase globale, un état de qubit dépend d'exactement deux paramètres réels :
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
où θ ∈ [0°, 180°] est l'angle polaire et φ ∈ [0°, 360°) est l'angle azimutal. Ce sont exactement les coordonnées sphériques d'un point sur une sphère unitaire dans ℝ³ — la sphère de Bloch.
Pôles :
- θ = 0 : |ψ⟩ = |0⟩ (pôle nord)
- θ = 180° : |ψ⟩ = |1⟩ (pôle sud)
- θ = 90° : |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (états équatoriaux, incluant |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Les états orthogonaux sont assis aux points antipodaux de la sphère de Bloch. |0⟩ et |1⟩ sont aux pôles opposés ; |+⟩ et |−⟩ sont aux points équatoriaux antipodaux.
Lecture de la Sphère de Bloch
Une porte de qubit est une transformation unitaire U qui mappe la sphère de Bloch à elle-même — une rotation. La porte Pauli X (analogue à un NOT classique) mappe |0⟩ → |1⟩ et |1⟩ → |0⟩. Sur la sphère de Bloch, X effectue une rotation de 180° autour de l'axe x : le pôle nord mappe au pôle sud.
Espace de Hilbert à Deux Qubits
L'espace de Hilbert de deux qubits A et B est le produit tensoriel H_A ⊗ H_B. États de base : |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (espace à quatre dimensions).
Un état produit (ou état séparable) a la forme :
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Par exemple : |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ et |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. L'état joint :
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Notez que les quatre amplitudes (αγ, αδ, βγ, βδ) satisfont une contrainte : la matrice [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] a le rang 1 — elle se factorise comme un produit extérieur.
Un état intriqué est tout état qui NE PEUT PAS être écrit comme un état produit. Le plus célèbre : l'état de Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
La matrice d'amplitude [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] a le rang 2 — elle ne peut pas se factoriser comme un produit extérieur. Aucun état de qubit individuel ne décrit le système.
Test de Séparabilité
La décomposition de Schmidt fournit un critère géométrique pour l'intrication : un état à deux parties est séparable si et seulement si son rang de Schmidt est 1. Le rang de Schmidt égale le nombre de valeurs singulières non nulles de la matrice de coefficients d'amplitude.
Pour un état à deux qubits |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, formez la matrice de coefficients 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Calculez les valeurs singulières (racines carrées des valeurs propres de C†C). Séparable ↔ exactement une valeur singulière non nulle.