De Inproductruimte
Een Hilbert-ruimte H is een vectorruimte uitgerust met een inproduct ⟨·,·⟩ dat geometrie definieert, samen met een volledigheidsvoorwaarde (elke Cauchy-reeks convergeert in H).
Voor quantum mechanica kan H eindig-dimensionaal (qubits, spinsystemen) of oneindig-dimensionaal (positie, impuls) zijn. Het inproduct van twee toestanden |ψ⟩ en |φ⟩ is ⟨ψ|φ⟩, een complex getal.
Normalisatie: een kwantumtoestand |ψ⟩ is een eenheidsvector: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. De toestandsruimte is daarom de eenheidsbol in H.
Orthogonaliteit: twee toestanden |ψ⟩ en |φ⟩ zijn orthogonaal wanneer ⟨ψ|φ⟩ = 0. Orthogonale toestanden zijn maximaal onderscheidbaar: een meting ontworpen om |ψ⟩ te detecteren heeft nul waarschijnlijkheid om het systeem in |φ⟩ te vinden.
Basis: elke volledige orthonormale verzameling {|eᵢ⟩} met ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ spant H. De computationele basis {|0⟩, |1⟩} voor een qubit bestaat uit twee orthogonale eenheidsvectoren.
Meting als Projectie
Een waarneembare creëert een reeks eigentoestanden {|aᵢ⟩} die een orthonormale basis vormen. De toestand |ψ⟩ expandeert als:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
De coëfficiënt cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ is de projectie van |ψ⟩ op de eigenstate |aᵢ⟩ — het meet hoeveel van |ψ⟩ in de |aᵢ⟩ richting wijst.
De Born-regel: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (projectielengte)².
Geometrisch: waarschijnlijkheid gelijk aan het kwadraat van de projectielengte van de toestandsvector op de eigenruimte. Hoe langer de projectie, hoe waarschijnlijker dat resultaat.
Dit is precies de klassieke regel voor het ontbinden van een vector in componenten — behalve dat in QM slechts één component 'overleefd' bij elke meting, en de waarschijnlijkheid van welke overleefd gelijk is aan het kwadraat van de lengte.
Parametrisering van Qubit-toestanden
Een qubit-toestand |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ met |α|² + |β|² = 1 heeft oneindig veel keuzes — maar veel zijn fysiek gelijk. Een algemene globale fase e^(iφ)|ψ⟩ is fysiek niet te onderscheiden van |ψ⟩ (waarschijnlijkheden veranderen niet omdat |e^(iφ)α|² = |α|²).
Na verwijdering van de globale fase hangt een qubit-toestand af van precies twee reële parameters:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
waarbij θ ∈ [0°, 180°] de poolhoek is en φ ∈ [0°, 360°) de azimutale hoek is. Dit zijn precies de sferische coördinaten van een punt op een eenheidsbol in ℝ³ — de Bloch-bol.
Polen:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (noordpool)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (zuidpool)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (equatoriale toestanden, inclusief |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Orthogonale toestanden zitten op antipodale punten op de Bloch-bol. |0⟩ en |1⟩ bevinden zich op tegenovergestelde polen; |+⟩ en |−⟩ bevinden zich op antipodale equatoriale punten.
De Bloch-bol Lezen
Een qubit-poort is een unitaire transformatie U die de Bloch-bol op zichzelf afbeeldt — een rotatie. De Pauli X-poort (analoog aan een klassieke NOT) beeldt |0⟩ → |1⟩ en |1⟩ → |0⟩ af. Op de Bloch-bol voert X een 180° rotatie uit rond de x-as: noordpool wordt afgebeeld op zuidpool.
Twee-Qubit Hilbert-ruimte
De Hilbert-ruimte van twee qubits A en B is het tensorproduct H_A ⊗ H_B. Basistoestanden: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (vier-dimensionale ruimte).
Een productstate (of scheidbare toestand) heeft de volgende vorm:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Bijvoorbeeld: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ en |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. De gezamenlijke toestand:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Merk op dat de vier amplitudo's (αγ, αδ, βγ, βδ) een beperking opleveren: de matrix [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] heeft rang 1 — het factoriseert als een buitenproduct.
Een verstrengelde toestand is elke toestand die NIET kan worden geschreven als een productstate. Het meest beroemd: de Bell-toestand
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
De amplitudematrix [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] heeft rang 2 — het kan niet factoriseert als een buitenproduct. Geen enkele individuele qubit-toestand beschrijft het systeem.
Scheisbaarheid Testen
De Schmidt-decompositie biedt een geometrisch criterium voor verstrengeling: een twee-delige toestand is scheidbaar als en alleen als de Schmidt-rang 1 is. De Schmidt-rang gelijk aan het aantal niet-nul singuliere waarden van de amplitudecoefficientmatrix.
Voor een twee-qubit toestand |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, vorm de 2×2 coefficientmatrix C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Bereken de singuliere waarden (vierkantswortels van eigenwaarden van C†C). Scheidbaar ↔ precies één niet-nul singuliere waarde.