Det inre produktrummet
Ett Hilbertrum H är ett vektorrum utrustat med en inre produkt ⟨·,·⟩ som definierar geometri, tillsammans med ett fullständighetstillstånd (varje Cauchysekvens konvergerar i H).
För kvantmekanik kan H vara ändligt-dimensionell (qubits, spinnsystem) eller oändligt-dimensionell (position, momentum). Den inre produkten av två tillstånd |ψ⟩ och |φ⟩ är ⟨ψ|φ⟩, ett komplext tal.
Normalisering: ett kvanttillstånd |ψ⟩ är en enhetsvektor: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Tillståndsrummet är därför enhetsfären i H.
Ortogonalitet: två tillstånd |ψ⟩ och |φ⟩ är ortogonala när ⟨ψ|φ⟩ = 0. Ortogonala tillstånd är maximalt urskiljbara: en mätning utformad för att detektera |ψ⟩ har noll sannolikhet att hitta systemet i |φ⟩.
Bas: varje fullständig ortonormal uppsättning {|eᵢ⟩} med ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ spänner H. Beräkningsbasen {|0⟩, |1⟩} för en qubit består av två ortogonala enhetsvektorer.
Mätning som projektion
En observabel skapar en uppsättning egentillstånd {|aᵢ⟩} som formar en ortonormal bas. Tillståndet |ψ⟩ expanderar som:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Koefficienten cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ är projektionen av |ψ⟩ på egentillståndet |aᵢ⟩ — den mäter hur mycket av |ψ⟩ som pekar i riktningen |aᵢ⟩.
Borns regel: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (projektorlängd)².
Geometriskt: sannolikheten är lika med kvadraten på projektorlängden av tillstandsvektorn på eigenrummet. Ju längre projektionen, desto mer sannolik det resultatet.
Det är exakt den klassiska regeln för att dekomponera en vektor i komponenter — förutom att i KM överlever endast en komponent varje mätning, och sannolikheten för vilken som överlever är lika med dess kvadrerade längd.
Parametrisering av qubittillstånd
Ett qubittillstånd |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ med |α|² + |β|² = 1 har oändligt många val — men många är fysiskt ekvivalenta. En övergripande global fas e^(iφ)|ψ⟩ är fysiskt omöjlig att skilja från |ψ⟩ (sannolikheter förändras inte eftersom |e^(iφ)α|² = |α|²).
Efter att ha tagit bort den globala fasen beror ett qubittillstånd på exakt två reella parametrar:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
där θ ∈ [0°, 180°] är den polära vinkeln och φ ∈ [0°, 360°) är den azimutala vinkeln. Dessa är exakt de sfäriska koordinaterna för en punkt på en enhetsfär i ℝ³ — Blochsfären.
Poler:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (nordpolen)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (sydpolen)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (ekvatoriska tillstånd, inklusive |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Ortogonala tillstånd sitter på antipodala punkter på Blochsfären. |0⟩ och |1⟩ är vid motsatta poler; |+⟩ och |−⟩ är vid antipodala ekvatoriska punkter.
Läsa Blochsfären
En qubitgrind är en enhetlig transformation U som mappar Blochsfären till sig själv — en rotation. Pauli X-grinden (analogt med en klassisk INTE) mappar |0⟩ → |1⟩ och |1⟩ → |0⟩. På Blochsfären utför X en 180° rotation omkring x-axeln: nordpolen mappar till sydpolen.
Två-qubit Hilbertrum
Hilbertrummet för två qubits A och B är tensorprodukten H_A ⊗ H_B. Bastillstånd: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (fyrdimensionellt rum).
Ett produkttillstånd (eller separabelt tillstånd) har formen:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Till exempel: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ och |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Det gemensamma tillståndet:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Observera att de fyra amplituderna (αγ, αδ, βγ, βδ) satisfierar ett villkor: matrisen [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] har rang 1 — den faktoriseras som en yttre produkt.
Ett sammanflätat tillstånd är vilket tillstånd som helst som INTE kan skrivas som ett produkttillstånd. Det mest kända: Belltillståndet
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Amplitudmatrisen [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] har rang 2 — den kan inte faktoriseras som en yttre produkt. Inget individuellt qubittillstånd beskriver systemet.
Testning av separabilitet
Schmidtuppdelningen ger ett geometriskt kriterium för sammanflätning: ett två-delat tillstånd är separabelt om och endast om dess Schmidtrang är 1. Schmidtrangen är lika med antalet icke-noll singulära värden i amplitudkoefficientmatrisen.
För ett två-qubit tillstånd |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, forma 2×2 koefficientmatrisen C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Beräkna de singulära värdena (kvadratrötterna av egenvärdena för C†C). Separabelt ↔ exakt ett icke-noll singulär värde.