Không gian Tích Trong
Một không gian Hilbert H là một không gian vectơ được trang bị một tích trong ⟨·,·⟩ xác định hình học, cùng với một điều kiện đủ (mọi dãy Cauchy hội tụ trong H).
Đối với cơ học lượng tử, H có thể là hữu hạn chiều (qubit, hệ spin) hoặc vô hạn chiều (vị trí, động lượng). Tích trong của hai trạng thái |ψ⟩ và |φ⟩ là ⟨ψ|φ⟩, một số phức.
Chuẩn hóa: một trạng thái lượng tử |ψ⟩ là một vectơ đơn vị: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Không gian trạng thái là hình cầu đơn vị trong H.
Trực giao: hai trạng thái |ψ⟩ và |φ⟩ là trực giao khi ⟨ψ|φ⟩ = 0. Các trạng thái trực giao có thể phân biệt tối đa: một phép đo được thiết kế để phát hiện |ψ⟩ có xác suất bằng không khi tìm thấy hệ trong |φ⟩.
Cơ sở: bất kỳ tập đầy đủ trực chuẩn {|eᵢ⟩} nào với ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ phủ H. Cơ sở tính toán {|0⟩, |1⟩} cho một qubit bao gồm hai vectơ đơn vị trực giao.
Phép đo như Phép chiếu
Một observable tạo ra một tập các trạng thái riêng {|aᵢ⟩} tạo thành một cơ sở trực chuẩn. Trạng thái |ψ⟩ khai triển thành:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Hệ số cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ là phép chiếu của |ψ⟩ lên trạng thái riêng |aᵢ⟩ — nó đo lường bao nhiêu của |ψ⟩ chỉ theo hướng |aᵢ⟩.
Quy tắc Born: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (độ dài chiếu)².
Về mặt hình học: xác suất bằng bình phương độ dài chiếu của vectơ trạng thái lên không gian riêng. Chiếu càng dài, kết quả càng có xác suất cao.
Đây chính xác là quy tắc cổ điển để phân tách một vectơ thành các thành phần — ngoại trừ rằng trong QM, chỉ có một thành phần 'tồn tại' cho mỗi phép đo, và xác suất của thành phần nào tồn tại bằng bình phương độ dài của nó.
Tham số hóa Trạng thái Qubit
Một trạng thái qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ với |α|² + |β|² = 1 có vô số lựa chọn — nhưng nhiều lựa chọn tương đương về mặt vật lý. Một pha toàn cục e^(iφ)|ψ⟩ là không thể phân biệt được với |ψ⟩ (xác suất không thay đổi vì |e^(iφ)α|² = |α|²).
Sau khi loại bỏ pha toàn cục, trạng thái qubit phụ thuộc vào đúng hai tham số thực:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
trong đó θ ∈ [0°, 180°] là góc cực và φ ∈ [0°, 360°) là góc phương vị. Đây là chính xác tọa độ cầu của một điểm trên hình cầu đơn vị trong ℝ³ — hình cầu Bloch.
Các cực:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (cực bắc)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (cực nam)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (trạng thái xích đạo, bao gồm |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Trạng thái trực giao nằm ở các điểm đối cực trên hình cầu Bloch. |0⟩ và |1⟩ nằm ở các cực đối lập; |+⟩ và |−⟩ nằm ở các điểm đối cực xích đạo.
Đọc Hình cầu Bloch
Một cổng qubit là một phép biến đổi unitar U ánh xạ hình cầu Bloch lên chính nó — một phép quay. Cổng Pauli X (tương tự như NOT cổ điển) ánh xạ |0⟩ → |1⟩ và |1⟩ → |0⟩. Trên hình cầu Bloch, X thực hiện phép quay 180° xung quanh trục x: cực bắc ánh xạ đến cực nam.
Không gian Hilbert Hai Qubit
Không gian Hilbert của hai qubit A và B là tích tensor H_A ⊗ H_B. Trạng thái cơ sở: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (không gian bốn chiều).
Một trạng thái tích (hoặc trạng thái tách được) có dạng:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Ví dụ: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ và |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Trạng thái chung:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Lưu ý rằng bốn biên độ (αγ, αδ, βγ, βδ) thỏa mãn một ràng buộc: ma trận [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] có hạng 1 — nó tính thành một tích bên ngoài.
Một trạng thái rối là bất kỳ trạng thái nào KHÔNG thể được viết dưới dạng trạng thái tích. Nổi tiếng nhất: trạng thái Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Ma trận biên độ [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] có hạng 2 — nó không thể tính thành một tích bên ngoài. Không có trạng thái qubit riêng lẻ nào mô tả hệ.
Kiểm tra Tính tách được
Phân tích Schmidt cung cấp một tiêu chí hình học để kiểm tra rối: một trạng thái hai phần là tách được nếu và chỉ nếu hạng Schmidt của nó bằng 1. Hạng Schmidt bằng số giá trị kỳ dị khác không của ma trận hệ số biên độ.
Đối với một trạng thái hai qubit |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, tạo thành ma trận hệ số 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Tính giá trị kỳ dị (căn bậc hai của giá trị riêng của C†C). Tách được ↔ chính xác một giá trị kỳ dị khác không.