Der innere Produktraum
Ein Hilbert-Raum H ist ein Vektorraum ausgestattet mit einem inneren Produkt ⟨·,·⟩, das Geometrie definiert, zusammen mit einer Vollständigkeitsbedingung (jede Cauchy-Folge konvergiert in H).
Für die Quantenmechanik kann H endlich-dimensional (Qubits, Spinsysteme) oder unendlich-dimensional (Position, Impuls) sein. Das innere Produkt zweier Zustände |ψ⟩ und |φ⟩ ist ⟨ψ|φ⟩, eine komplexe Zahl.
Normalisierung: Ein Quantenzustand |ψ⟩ ist ein Einheitsvektor: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Der Zustandsraum ist daher die Einheitssphäre in H.
Orthogonalität: Zwei Zustände |ψ⟩ und |φ⟩ sind orthogonal, wenn ⟨ψ|φ⟩ = 0. Orthogonale Zustände sind maximal unterscheidbar: Eine Messung, die so ausgelegt ist, |ψ⟩ zu erfassen, hat eine Wahrscheinlichkeit von null, das System in |φ⟩ zu finden.
Basis: Jeder vollständige orthonormale Satz {|eᵢ⟩} mit ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ spannt H auf. Die Rechenbasis {|0⟩, |1⟩} für ein Qubit besteht aus zwei orthogonalen Einheitsvektoren.
Messung als Projektion
Ein Observable erzeugt einen Satz von Eigenzuständen {|aᵢ⟩}, die eine orthonormale Basis bilden. Der Zustand |ψ⟩ entwickelt sich wie folgt:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Der Koeffizient cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ ist die Projektion von |ψ⟩ auf den Eigenzustand |aᵢ⟩ – er misst, wie viel von |ψ⟩ in die Richtung |aᵢ⟩ zeigt.
Die Born-Regel: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (Projektionslänge)².
Geometrisch: Die Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Quadrat der Projektionslänge des Zustandsvektors auf den Eigenraum. Je länger die Projektion, desto wahrscheinlicher ist dieses Ergebnis.
Dies ist genau die klassische Regel zur Zerlegung eines Vektors in Komponenten – außer dass in der QM nur eine Komponente bei jeder Messung „überlebt", und die Wahrscheinlichkeit, welche überlebt, ist gleich ihrer quadrierten Länge.
Parametrisierung von Qubit-Zuständen
Ein Qubit-Zustand |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ mit |α|² + |β|² = 1 hat unendlich viele Möglichkeiten – aber viele sind physikalisch äquivalent. Eine insgesamte globale Phase e^(iφ)|ψ⟩ ist physikalisch nicht vom Zustand |ψ⟩ zu unterscheiden (Wahrscheinlichkeiten sind unverändert, da |e^(iφ)α|² = |α|²).
Nach Entfernung der globalen Phase hängt ein Qubit-Zustand von genau zwei realen Parametern ab:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
wobei θ ∈ [0°, 180°] der Polarwinkel und φ ∈ [0°, 360°) der Azimutwinkel ist. Dies sind genau die Kugelkoordinaten eines Punktes auf einer Einheitssphäre in ℝ³ – die Bloch-Sphäre.
Pole:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (Nordpol)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (Südpol)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (äquatoriale Zustände, einschließlich |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Orthogonale Zustände sitzen an antipolaren Punkten auf der Bloch-Sphäre. |0⟩ und |1⟩ sind an entgegengesetzten Polen; |+⟩ und |−⟩ sind an antipolaren Äquatorpunkten.
Die Bloch-Sphäre lesen
Ein Qubit-Gatter ist eine unitäre Transformation U, die die Bloch-Sphäre auf sich selbst abbildet – eine Rotation. Das Pauli-X-Gatter (analog zu einem klassischen NICHT) ordnet |0⟩ → |1⟩ und |1⟩ → |0⟩ zu. Auf der Bloch-Sphäre führt X eine 180°-Rotation um die x-Achse durch: Der Nordpol wird auf den Südpol abgebildet.
Zwei-Qubit-Hilbert-Raum
Der Hilbert-Raum zweier Qubits A und B ist das Tensorprodukt H_A ⊗ H_B. Basiszustände: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (vier-dimensionaler Raum).
Ein Produktzustand (oder trennbarer Zustand) hat die Form:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Zum Beispiel: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ und |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Der gemeinsame Zustand:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Beachten Sie, dass die vier Amplituden (αγ, αδ, βγ, βδ) eine Einschränkung erfüllen: Die Matrix [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] hat den Rang 1 – sie faktorisiert sich als äußeres Produkt.
Ein verschränkter Zustand ist ein Zustand, der NICHT als Produktzustand geschrieben werden kann. Der berühmteste: der Bell-Zustand
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Die Amplitudenmatrix [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] hat den Rang 2 – sie kann nicht als äußeres Produkt faktorisiert werden. Kein einzelner Qubit-Zustand beschreibt das System.
Testen von Trennbarkeit
Die Schmidt-Zerlegung bietet ein geometrisches Kriterium für Verschränkung: Ein zweiteiliger Zustand ist trennbar, wenn und nur wenn sein Schmidt-Rang gleich 1 ist. Der Schmidt-Rang ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Singularwerte der Amplitudenkoeffizientenmatrix.
Für einen Zwei-Qubit-Zustand |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩ bilden Sie die 2×2-Koeffizientenmatrix C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Berechnen Sie die Singularwerte (Quadratwurzeln der Eigenwerte von C†C). Trennbar ↔ genau ein nicht verschwindender Singularwert.