内积空间
一个希尔伯特空间 H 是配备内积 ⟨·,·⟩ 的向量空间，该内积定义几何结构，同时满足完备条件（H 中的每个柯西列都收敛）。
在量子力学中，H 可以是有限维的（量子比特、自旋系统）或无限维的（位置、动量）。两个态 |ψ⟩ 和 |φ⟩ 的内积是 ⟨ψ|φ⟩，一个复数。
归一化： 量子态 |ψ⟩ 是一个单位向量：⟨ψ|ψ⟩ = 1。因此态空间是 H 中的单位球面。
正交性： 两个态 |ψ⟩ 和 |φ⟩ 在 ⟨ψ|φ⟩ = 0 时是正交的。正交态是最大可区分的：为检测 |ψ⟩ 而设计的测量在找到系统处于 |φ⟩ 的概率为零。
基： 任何完全正交归一化集合 {|eᵢ⟩}（满足 ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ）张成 H。量子比特的计算基 {|0⟩, |1⟩} 由两个正交单位向量组成。
测量作为投影
一个可观测量创建一组本征态 {|aᵢ⟩} 组成正交归一化基。态 |ψ⟩ 展开为：
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
系数 cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ 是 |ψ⟩ 在本征态 |aᵢ⟩ 上的投影 —— 它测量 |ψ⟩ 有多少指向 |aᵢ⟩ 方向。
玻恩规则：P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = （投影长度）²。
几何上：概率等于态向量在本征空间上投影长度的平方。投影越长，该结果越可能。
这正是将向量分解为分量的经典规则 —— 除了在量子力学中，每次测量只有一个分量'存活'，而哪个分量存活的概率等于其长度的平方。
参数化量子比特态
一个量子比特态 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩（满足 |α|² + |β|² = 1）有无限多个选择 —— 但许多在物理上是等价的。全局相位 e^(iφ)|ψ⟩ 在物理上与 |ψ⟩ 不可区分（概率不变，因为 |e^(iφ)α|² = |α|²）。
移除全局相位后，一个量子比特态取决于恰好两个实数参数：
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
其中 θ ∈ [0°, 180°] 是极角，φ ∈ [0°, 360°) 是方位角。这些正是 ℝ³ 中单位球面上一点的球坐标 —— 布洛赫球。
极点：
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (北极)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (南极)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (赤道态，包括 |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
正交态位于布洛赫球上的对称点。|0⟩ 和 |1⟩ 在相对的极点；|+⟩ 和 |−⟩ 在对称的赤道点。
读取布洛赫球
一个量子比特门是一个酉变换 U，将布洛赫球映射到自身 —— 一个旋转。泡利 X 门（类似于经典的非门）将 |0⟩ → |1⟩ 和 |1⟩ → |0⟩。在布洛赫球上，X 在 x 轴周围执行 180° 旋转：北极映射到南极。
双量子比特希尔伯特空间
两个量子比特 A 和 B 的希尔伯特空间是张量积 H_A ⊗ H_B。基态：|00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩（四维空间）。
一个积态（或可分态）的形式为：
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
例如：|ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 和 |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩。联合态：
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
注意四个振幅（αγ, αδ, βγ, βδ）满足一个约束：矩阵 [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] 的秩为 1 —— 它因式分解为外积。
一个纠缠态是任何无法写成积态的态。最著名的：贝尔态
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
振幅矩阵 [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] 的秩为 2 —— 它无法因式分解为外积。没有单独的量子比特态描述该系统。
测试可分性
施密特分解提供了纠缠的几何判别准则：两部分态是可分的当且仅当其施密特秩为 1。施密特秩等于振幅系数矩阵的非零奇异值的个数。
对于双量子比特态 |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩，形成 2×2 系数矩阵 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]。计算奇异值（C†C 特征值的平方根）。可分 ↔ 恰好一个非零奇异值。