Внутреннее произведение пространства
Гильбертово пространство H — это векторное пространство, оснащённое внутренним произведением ⟨·,·⟩, которое определяет геометрию, вместе с условием полноты (каждая последовательность Коши сходится в H).
В квантовой механике H может быть конечномерным (кубиты, спин-системы) или бесконечномерным (положение, импульс). Внутреннее произведение двух состояний |ψ⟩ и |φ⟩ — это ⟨ψ|φ⟩, комплексное число.
Нормализация: квантовое состояние |ψ⟩ — это единичный вектор: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Таким образом, пространство состояний — это единичная сфера в H.
Ортогональность: два состояния |ψ⟩ и |φ⟩ ортогональны, если ⟨ψ|φ⟩ = 0. Ортогональные состояния максимально различимы: измерение, предназначенное для обнаружения |ψ⟩, имеет нулевую вероятность найти систему в |φ⟩.
Базис: любой полный ортонормированный набор {|eᵢ⟩} с ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ охватывает H. Вычислительный базис {|0⟩, |1⟩} для кубита состоит из двух ортогональных единичных векторов.
Измерение как проекция
Наблюдаемая создаёт набор собственных состояний {|aᵢ⟩}, которые образуют ортонормированный базис. Состояние |ψ⟩ разлагается как:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Коэффициент cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ — это проекция |ψ⟩ на собственное состояние |aᵢ⟩ — она измеряет, насколько |ψ⟩ указывает в направлении |aᵢ⟩.
Правило Борна: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (длина проекции)².
Геометрически: вероятность равна квадрату длины проекции вектора состояния на собственное пространство. Чем длиннее проекция, тем более вероятен этот результат.
Это в точности классическое правило разложения вектора на компоненты — за исключением того, что в КМ только одна компонента 'выживает' при каждом измерении, и вероятность того, какая компонента выживает, равна её квадрату длины.
Параметризация состояний кубита
Состояние кубита |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ с |α|² + |β|² = 1 имеет бесконечно много вариантов — но многие физически эквивалентны. Общая глобальная фаза e^(iφ)|ψ⟩ физически неотличима от |ψ⟩ (вероятности остаются неизменными, так как |e^(iφ)α|² = |α|²).
После удаления глобальной фазы состояние кубита зависит от ровно двух вещественных параметров:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
где θ ∈ [0°, 180°] — полярный угол, а φ ∈ [0°, 360°) — азимутальный угол. Это в точности сферические координаты точки на единичной сфере в ℝ³ — сфера Блоха.
Полюсы:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (северный полюс)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (южный полюс)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (экваториальные состояния, включая |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Ортогональные состояния расположены в антиподальных точках на сфере Блоха. |0⟩ и |1⟩ находятся на противоположных полюсах; |+⟩ и |−⟩ находятся в антиподальных экваториальных точках.
Чтение сферы Блоха
Вентиль кубита — это унитарное преобразование U, которое отображает сферу Блоха на себя — вращение. Вентиль Паули X (аналогичный классическому НЕ) отображает |0⟩ → |1⟩ и |1⟩ → |0⟩. На сфере Блоха X выполняет поворот на 180° вокруг оси x: северный полюс переходит в южный полюс.
Гильбертово пространство двух кубитов
Гильбертово пространство двух кубитов A и B — это тензорное произведение H_A ⊗ H_B. Базисные состояния: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (четырёхмерное пространство).
Произведение состояния (или отделимое состояние) имеет форму:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Например: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ и |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Совместное состояние:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Обратите внимание, что четыре амплитуды (αγ, αδ, βγ, βδ) удовлетворяют ограничению: матрица [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] имеет ранг 1 — она факторизуется как внешнее произведение.
Запутанное состояние — это любое состояние, которое НЕЛЬЗЯ записать как произведение состояния. Самое известное: состояние Белла
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Матрица амплитуд [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] имеет ранг 2 — она не может факторизоваться как внешнее произведение. Никакое отдельное состояние кубита не описывает систему.
Тестирование отделимости
Разложение Шмидта обеспечивает геометрический критерий для запутанности: двухчастное состояние отделимо тогда и только тогда, когда его ранг Шмидта равен 1. Ранг Шмидта равен количеству ненулевых сингулярных значений матрицы коэффициентов амплитуды.
Для двухкубитного состояния |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩ сформируйте матрицу коэффициентов 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Вычислите сингулярные значения (квадратные корни собственных значений C†C). Отделимо ↔ ровно одно ненулевое сингулярное значение.