O Espaço de Produto Interno
Um espaço de Hilbert H é um espaço vetorial equipado com um produto interno ⟨·,·⟩ que define a geometria, juntamente com uma condição de completude (toda sequência de Cauchy converge em H).
Para mecânica quântica, H pode ser de dimensão finita (qubits, sistemas de spin) ou infinita (posição, momento). O produto interno de dois estados |ψ⟩ e |φ⟩ é ⟨ψ|φ⟩, um número complexo.
Normalização: um estado quântico |ψ⟩ é um vetor unitário: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. O espaço de estados é, portanto, a esfera unitária em H.
Ortogonalidade: dois estados |ψ⟩ e |φ⟩ são ortogonais quando ⟨ψ|φ⟩ = 0. Estados ortogonais são maximalmente distinguíveis: uma medição projetada para detectar |ψ⟩ tem probabilidade zero de encontrar o sistema em |φ⟩.
Base: qualquer conjunto ortonormal completo {|eᵢ⟩} com ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ expande H. A base computacional {|0⟩, |1⟩} para um qubit consiste em dois vetores unitários ortogonais.
Medição como Projeção
Um observável cria um conjunto de autoestados {|aᵢ⟩} que formam uma base ortonormal. O estado |ψ⟩ se expande como:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
O coeficiente cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ é a projeção de |ψ⟩ no autoestado |aᵢ⟩ — ele mede quanto de |ψ⟩ aponta na direção |aᵢ⟩.
A regra de Born: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (comprimento de projeção)².
Geometricamente: a probabilidade é igual ao quadrado do comprimento de projeção do vetor de estado no autoespaço. Quanto mais longa a projeção, mais provável esse resultado.
Isto é exatamente a regra clássica para decompor um vetor em componentes — exceto que em MQ, apenas um componente 'sobrevive' a cada medição, e a probabilidade de qual sobrevive é igual ao quadrado do seu comprimento.
Parametrizando Estados de Qubit
Um estado de qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ com |α|² + |β|² = 1 tem infinitas escolhas — mas muitas são fisicamente equivalentes. Uma fase global geral e^(iφ)|ψ⟩ é fisicamente indistinguível de |ψ⟩ (as probabilidades não mudam porque |e^(iφ)α|² = |α|²).
Após remover a fase global, um estado de qubit depende exatamente de dois parâmetros reais:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
onde θ ∈ [0°, 180°] é o ângulo polar e φ ∈ [0°, 360°) é o ângulo azimutal. Estas são exatamente as coordenadas esféricas de um ponto em uma esfera unitária em ℝ³ — a esfera de Bloch.
Polos:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (pólo norte)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (pólo sul)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (estados equatoriais, incluindo |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Estados ortogonais ficam em pontos antípodas na esfera de Bloch. |0⟩ e |1⟩ estão em polos opostos; |+⟩ e |−⟩ estão em pontos equatoriais antípodas.
Lendo a Esfera de Bloch
Uma porta de qubit é uma transformação unitária U que mapeia a esfera de Bloch para si mesma — uma rotação. A porta Pauli X (análoga a um NOT clássico) mapeia |0⟩ → |1⟩ e |1⟩ → |0⟩. Na esfera de Bloch, X realiza uma rotação de 180° em torno do eixo x: o pólo norte mapeia para o pólo sul.
Espaço de Hilbert de Dois Qubits
O espaço de Hilbert de dois qubits A e B é o produto tensorial H_A ⊗ H_B. Estados de base: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (espaço de dimensão quatro).
Um estado de produto (ou estado separável) tem a forma:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Por exemplo: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ e |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. O estado conjunto:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Observe que as quatro amplitudes (αγ, αδ, βγ, βδ) satisfazem uma restrição: a matriz [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] tem posto 1 — ela fatoriza como um produto externo.
Um estado entrelaçado é qualquer estado que NÃO pode ser escrito como um estado de produto. O mais famoso: o estado de Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
A matriz de amplitudes [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] tem posto 2 — ela não pode se fatorizar como um produto externo. Nenhum estado de qubit individual descreve o sistema.
Testando Separabilidade
A decomposição de Schmidt fornece um critério geométrico para entrelaçamento: um estado de duas partes é separável se e somente se seu posto de Schmidt é 1. O posto de Schmidt é igual ao número de valores singulares não nulos da matriz de coeficientes de amplitude.
Para um estado de dois qubits |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, forme a matriz de coeficientes 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Calcule os valores singulares (raízes quadradas dos autovalores de C†C). Separável ↔ exatamente um valor singular não nulo.