İç Çarpım Uzayı
Bir Hilbert uzayı H, geometriyi tanımlayan iç çarpım ⟨·,·⟩ ile donatılmış ve her Cauchy dizisinin H'de yakınsadığı eksiksizlik koşulunu sağlayan bir vektör uzayıdır.
Kuantum mekaniği için, H sonlu boyutlu (kubitler, spin sistemleri) veya sonsuz boyutlu (konum, momentum) olabilir. İki durum |ψ⟩ ve |φ⟩'nin iç çarpımı ⟨ψ|φ⟩'dir, karmaşık bir sayıdır.
Normalizasyon: bir kuantum durumu |ψ⟩ birim bir vektördür: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Durum uzayı bu nedenle H'deki birim küredir.
Dik bağımsızlık: iki durum |ψ⟩ ve |φ⟩, ⟨ψ|φ⟩ = 0 olduğunda dikeydir. Dik durumlar maksimum derecede ayırt edilebilirdir: |ψ⟩'yi tespit etmek için tasarlanmış bir ölçüm, sistemi |φ⟩'de bulma olasılığı sıfırdır.
Temel: {|eᵢ⟩} ile ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ olan herhangi bir tam ortonormal küme H'yi açar. Bir kubit için hesaplamalı temel {|0⟩, |1⟩} iki dik birim vektörden oluşur.
Ölçüm Olarak Projeksiyon
Bir gözlemlenebilir, bir ortonormal temel oluşturan öz durumlar {|aᵢ⟩} kümesi oluşturur. Durum |ψ⟩ şu şekilde genişler:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Katsayı cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩, |ψ⟩'nin öz durum |aᵢ⟩ üzerine projeksiyonudur — |ψ⟩'nin |aᵢ⟩ yönüne ne kadar işaret ettiğini ölçer.
Born kuralı: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (projeksiyon uzunluğu)².
Geometrik olarak: olasılık, durum vektörünün öz uzay üzerine projeksiyonunun karesidir. Projeksiyon ne kadar uzunsa, bu sonucun olasılığı o kadar yüksektir.
Bu klasik vektör komponent ayrışımı kuralıyla tamamen aynıdır — ancak KM'de, her ölçümde yalnızca bir komponent 'hayatta kalır' ve hangi komponentin hayatta kalacağının olasılığı, onun kare uzunluğuna eşittir.
Kubit Durumlarını Parametrelendirme
Bir kubit durumu |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ ve |α|² + |β|² = 1 sonsuz sayıda seçeneğe sahiptir — ancak çoğu fiziksel olarak eşdeğerdir. Genel faz e^(iφ)|ψ⟩ fiziksel olarak |ψ⟩'den ayırt edilemez (olasılıklar değişmez çünkü |e^(iφ)α|² = |α|²).
Genel faz kaldırıldıktan sonra, bir kubit durumu tam olarak iki gerçek parametreye bağlıdır:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
burada θ ∈ [0°, 180°] polar açı ve φ ∈ [0°, 360°) azimut açısıdır. Bunlar tam olarak ℝ³'teki birim küre üzerinde bir noktanın küresel koordinatlarıdır — Bloch küresi.
Kutuplar:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (kuzey kutbu)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (güney kutbu)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (ekvator durumları, |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 dahil)
Dik durumlar Bloch küresinde ters noktalarda oturur. |0⟩ ve |1⟩ karşı kutuplardadır; |+⟩ ve |−⟩ ters ekvator noktalarındadır.
Bloch Küresini Okuma
Bir kubit kapısı, Bloch küresini kendisine eşleyen birimsel bir dönüşüm U'dir — bir döndürmedir. Pauli X kapısı (klasik NOT'a benzer) |0⟩ → |1⟩ ve |1⟩ → |0⟩ eşler. Bloch küresinde, X x ekseni etrafında 180° döndürme gerçekleştirir: kuzey kutbu güney kutbuna eşlenir.
İki Kubit Hilbert Uzayı
İki kubit A ve B'nin Hilbert uzayı tensör çarpımıdır H_A ⊗ H_B. Temel durumları: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (dört boyutlu uzay).
Bir ürün durumu (veya ayrılabilir durum) şu forma sahiptir:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Örneğin: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ ve |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Bileşik durum:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Dört amplitüdün (αγ, αδ, βγ, βδ) bir kısıtlamayı sağladığına dikkat edin: matris [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] rank 1'e sahiptir — bir dış ürün olarak faktörize edilir.
Bir dolanık durum ürün durumu olarak yazılamayacak herhangi bir durumdur. En ünlü: Bell durumu
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Amplitüd matrisi [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] rank 2'ye sahiptir — dış ürün olarak faktörize edilemez. Hiçbir bireysel kubit durumu sistemi açıklamaz.
Ayrılabilirliği Test Etme
Schmidt ayrışması, dolanıklık için geometrik bir kriter sağlar: bir iki parçalı durum, ancak ve ancak Schmidt sırası 1 ise ayrılabilir. Schmidt sırası, amplitüd katsayısı matrisinin sıfır olmayan tekil değerlerinin sayısına eşittir.
İki kubit durumu |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩ için, katsayı matrisi C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]] oluşturun. Tekil değerleri hesaplayın (C†C'nin öz değerlerinin karekökü). Ayrılabilir ↔ tam olarak bir sıfır olmayan tekil değer.