İç Ürün Uzayı
Bir Hilbert uzayı H, iç ürünlü ⟨·,·⟩ ile donatılmış bir vektör alanıdır, bu da geometriyi tanımlar ve her Cauchy dizisinin H'de konsolide olduğu tamamlanma koşulu ile birlikte gelir.
Kuantum mekaniği için H, kuantlar, spin sistemleri için sınırlı boyutlu (qubits, spin sistemleri) veya sınırsız boyutlu (pozisyon, momentum) olabilir. İki durumu |ψ⟩ ve |φ⟩ olan iç ürün iki durumlar |ψ⟩ ve |φ⟩ için ⟨ψ|φ⟩, karmaşık bir sayıdır.
Normallaşma: Kuantum durumu |ψ⟩, ⟨ψ|ψ⟩ = 1 olan bir birim vektördür. Durum uzayı H'nin birim küresindedir.
Ortogonalite: İki durumu |ψ⟩ ve |φ⟩, ⟨ψ|φ⟩ = 0 olduğunda orthogonaldir. Ortogonal durumlar, sistemin |ψ⟩ üzerinde ölçüm yapmak için tasarlanmış bir ölçümün |φ⟩ üzerinde sıfır olasılığı olduğu en büyük şekilde ayrılmışlardır.
Basis: Herhangi bir tam orthonormal set {|eᵢ⟩} ile H span edilir: ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ, bir qubit için bilgisayarlar temelinde {|0⟩, |1⟩} iki orthogonal birim vektörlerden oluşur.
Ölçüm olarak Projeksiyon
Bir gözlemlenebilir , eigenstatesi {|aᵢ⟩} oluşturan bir oransal oluşturur. Durum |ψ⟩ genişler:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Koefisiten cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩, |ψ⟩'yi |aᵢ⟩ yönünde |aᵢ⟩'e olan projeksiyonu ölçer - |ψ⟩'nin |aᵢ⟩ yönlendirilmesine ne kadar yönlendirildiğini ölçer.
Born kuralı: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (projeksiyon uzunluğu)².
Geometrik olarak: olasılık, durum vektörünün kareye çıkarılmış projeksiyon uzunluğu ile eigenspace üzerine olan projeksiyon uzunluğudur. Projeksiyonun uzunluğu ne kadar büyük olursa, o sonuç için olasılık o kadar büyük olur.
Bu, QM'de sadece bir bileşenin her ölçümde 'yaşadığı' ve bu bileşenin kare uzunluğuna eşit olasılığının ne olduğunu tam olarak klasik kuralın dışında değildir. Vektörü bileşenlere ayırma.
Qubit Durumlarının Parametrikleştirilmesi
Qubit durumu |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, |α|² + |β|² = 1 ise, fiziksel olarak eşdeğer birçok seçeneği vardır. Geniş bir global faz e^(iφ)|ψ⟩, |ψ⟩'den (olasılıklar değişmez çünkü |e^(iφ)α|² = |α|²) fiziksel olarak ayırt edilemez.
Geniş faz kaldırıldıktan sonra, qubit durumu iki gerçek parametreden bağımlıdır:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
burada θ ∈ [0°, 180°] polar açısı ve φ ∈ [0°, 360°) azimutal açısıdır. Bu, ℝ³ içindeki bir birim kürenin noktasının sferik koordinatlarıdır - Bloch topu.
Dik kutuplar:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (kuzey kutbu)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (güney kutbu)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (ekvatorel durumlar, |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 dahil)
Dik durumlar, Bloch topunun karşıt noktalarda oturur. |0⟩ ve |1⟩ karşıt kutuplarda; |+⟩ ve |−⟩ karşıt ekvatorel noktalar üzerinde oturur.
Bloch Topunu Okuma
Qubit kapısı, Bloch topunu kendisinin döndüren bir birimary transformasyondur - bir döndürme. Pauli X kapısı (klasik NOT'a benzer), |0⟩ → |1⟩ ve |1⟩ → |0⟩'u maps. Bloch topunda X, x ekseninde 180° döndürür: kuzey kutbu güney kutbuna maps.
Two-Qubit Hilbert Space
The Hilbert space of two qubits A and B is the tensor product H_A ⊗ H_B. Basis states: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (four-dimensional space).
A product state (or separable state) has the form:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
For example: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ and |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. The joint state:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Note that the four amplitudes (αγ, αδ, βγ, βδ) satisfy a constraint: the matrix [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] has rank 1 — it factors as an outer product.
An entangled state is any state that CANNOT be written as a product state. The most famous: the Bell state
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
The amplitude matrix [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] has rank 2 — it cannot factor as an outer product. No individual qubit state describes the system.
Testing Separability
The Schmidt decomposition provides a geometric criterion for entanglement: a two-part state is separable if and only if its Schmidt rank is 1. The Schmidt rank equals the number of non-zero singular values of the amplitude coefficient matrix.
For a two-qubit state |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, form the 2×2 coefficient matrix C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Compute the singular values (square roots of eigenvalues of C†C). Separable ↔ exactly one non-zero singular value.