Простір зі скалярним добутком
Простір Гільберта H — це векторний простір, оснащений скалярним добутком ⟨·,·⟩, що визначає геометрію, разом з умовою повноти (кожна послідовність Коші збігається в H).
У квантовій механіці H може бути скінченновимірним (кубіти, спінові системи) або нескінченновимірним (координата, імпульс). Скалярний добуток двох станів |ψ⟩ та |φ⟩ — це ⟨ψ|φ⟩, комплексне число.
Нормалізація: квантовий стан |ψ⟩ — це одиничний вектор: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Простір станів, таким чином, є одиничною сферою в H.
Ортогональність: два стани |ψ⟩ та |φ⟩ ортогональні, коли ⟨ψ|φ⟩ = 0. Ортогональні стани максимально розрізняються: вимірювання, розроблене для виявлення |ψ⟩, має нульову ймовірність знайти систему в |φ⟩.
Базис: будь-яка повна ортонормована множина {|eᵢ⟩} з ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ охоплює H. Обчислювальний базис {|0⟩, |1⟩} для кубіта складається з двох ортогональних одиничних векторів.
Вимірювання як проекція
Спостережуваний створює набір власних станів {|aᵢ⟩}, що утворюють ортонормований базис. Стан |ψ⟩ розширюється як:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Коефіцієнт cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ — це проекція |ψ⟩ на власний стан |aᵢ⟩ — він вимірює, наскільки |ψ⟩ вказує в напрямку |aᵢ⟩.
Правило Борна: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (довжина проекції)².
Геометрично: ймовірність дорівнює квадрату довжини проекції вектора стану на власний простір. Чим довша проекція, тим більше ймовірність цього результату.
Це точно класичне правило розкладання вектора на компоненти — окрім того, що в КМ, під час кожного вимірювання виживає лише одна компонента, і ймовірність того, яка саме виживе, дорівнює квадрату її довжини.
Параметризація станів кубіта
Стан кубіта |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ з |α|² + |β|² = 1 має нескінченно багато варіантів — але багато з них фізично еквівалентні. Глобальна фаза e^(iφ)|ψ⟩ фізично невідрізняється від |ψ⟩ (ймовірності невмінні, тому що |e^(iφ)α|² = |α|²).
Після видалення глобальної фази, стан кубіта залежить від рівно двох дійсних параметрів:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
де θ ∈ [0°, 180°] — полярний кут, а φ ∈ [0°, 360°) — азимутальний кут. Це точно сферичні координати точки на одиничній сфері в ℝ³ — сфера Блоха.
Полюси:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (північний полюс)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (південний полюс)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (екваторіальні стани, включаючи |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Ортогональні стани сидять на антиподальних точках сфери Блоха. |0⟩ та |1⟩ — на протилежних полюсах; |+⟩ та |−⟩ — на антиподальних екваторіальних точках.
Читання сфери Блоха
Гейт кубіта — це унітарна трансформація U, що відображає сферу Блоха на себе — обертання. Гейт Паулі X (аналог класичного НЕ) відображає |0⟩ → |1⟩ та |1⟩ → |0⟩. На сфері Блоха X виконує обертання на 180° навколо осі x: північний полюс відображається на південний полюс.
Гільбертів простір двох кубітів
Гільбертів простір двох кубітів A та B — це тензорний добуток H_A ⊗ H_B. Базисні стани: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (чотиривимірний простір).
Добутковий стан (або розділений стан) має форму:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Наприклад: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ та |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Спільний стан:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Зверніть увагу, що чотири амплітуди (αγ, αδ, βγ, βδ) задовольняють обмеженню: матриця [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] має ранг 1 — вона розкладається як зовнішній добуток.
Заплутаний стан — це будь-який стан, який НЕ МОЖЕ бути написаний як добутковий стан. Найзнаменитіший: стан Белла
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Матриця амплітуди [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] має ранг 2 — вона не розкладається як зовнішній добуток. Жоден окремий стан кубіта не описує систему.
Тестування розділеності
Розкладання Шмідта забезпечує геометричний критерій для заплутаності: двочастинний стан розділений тоді й тільки тоді, коли його ранг Шмідта дорівнює 1. Ранг Шмідта дорівнює кількості ненульових сингулярних значень матриці коефіцієнтів амплітуди.
Для двокубітового стану |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, сформуйте матрицю коефіцієнтів 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Обчисліть сингулярні значення (квадратні корені власних значень C†C). Розділений ↔ рівно одне ненульове сингулярне значення.