შიგა ნამრავლის სივრცე
ჰილბერტის სივრცე H არის ვექტორული სივრცე, რომელიც აღჭურვილია შიგა ნამრავლით ⟨·,·⟩, რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიას, ერთად სრულობის პირობასთან (H-ში თითოეული კოშის მიმდევრობა კრებულია).
კვანტური მექანიკისთვის, H შეიძლება იყოს სასრული-განზომილებიანი (კუბიტები, სპინის სისტემები) ან უსასრულო-განზომილებიანი (პოზიცია, იმპულსი). ორი მდგომარეობის |ψ⟩ და |φ⟩ შიგა ნამრავლი არის ⟨ψ|φ⟩, რთული რიცხვი.
ნორმალიზაცია: კვანტური მდგომარეობა |ψ⟩ არის ერთეული ვექტორი: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. მდგომარეობის სივრცე არის ამიტომ ერთეულის სფერა H-ში.
ორთოგონალურობა: ორი მდგომარეობა |ψ⟩ და |φ⟩ ორთოგონალურია როცა ⟨ψ|φ⟩ = 0. ორთოგონალური მდგომარეობები მაქსიმალურად განსხვავებულია: |ψ⟩-ის სადენ აღმოჩენისთვის დიზაინირებულ გაზომვას ნულოვანი ალბათობა აქვს |φ⟩-ში სისტემის პოვნის.
საფუძველი: H-ის ნებისმიერი სრული ორთონორმალური სიმრავლე {|eᵢ⟩} რომელიც აკმაყოფილებს ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ იშლება H-ში. კომპიუტერული საფუძველი {|0⟩, |1⟩} კუბიტისთვის შედგება ორი ორთოგონალური ერთეული ვექტორისგან.
გაზომვა როგორც პროექცია
დაკვირვებული დებს შექმნის საკუთარი მდგომარეობების სიმრავლე {|aᵢ⟩}, რომელიც იშლება ორთონორმალურ საფუძველს. მდგომარეობა |ψ⟩ იშლება როგორც:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
კოეფიციენტი cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ არის |ψ⟩-ის პროექცია საკუთარი მდგომარეობის |aᵢ⟩-ზე — ის ზომავს რამდენი |ψ⟩ მიმართულია |aᵢ⟩ მიმართულებისკენ.
დაბადებული წესი: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (პროექციის სიგრძე)².
გეომეტრიულად: ალბათობა ტოლია მდგომარეობის ვექტორის პროექციის სიგრძის კვადრატის საკუთარ სივრცეზე. რაც უფრო გრძელი პროექცია, მით უფრო სავარაუდოა ის შედეგი.
ეს ზუსტად კლასიკური წესია ვექტორის კომპონენტებად დაშლისთვის — გარდა იმისა, რომ QM-ში, მხოლოდ ერთი კომპონენტი 'გადაკვდება' თითოეული გაზომვისას, და რომელი გადაკვდება ის ალბათობა ტოლია მისი კვადრატული სიგრძისა.
კუბიტის მდგომარეობების პარამეტრიზაცია
კუბიტის მდგომარეობა |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ რომელიც აკმაყოფილებს |α|² + |β|² = 1 აქვს უსასრულო ბევრი არჩევანი — მაგრამ მრავალი ფიზიკურად ეკვივალენტურია. საერთო გლობალური ფაზა e^(iφ)|ψ⟩ ფიზიკურად განუსხვავებელია |ψ⟩-დან (ალბათობები უცვლელი რჩება რადგან |e^(iφ)α|² = |α|²).
გლობალური ფაზის ამოღების შემდეგ, კუბიტის მდგომარეობა დამოკიდებულია ზუსტად ორ რეალურ პარამეტრზე:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
სადაც θ ∈ [0°, 180°] არის პოლარული კუთხე და φ ∈ [0°, 360°) არის აზიმუთალური კუთხე. ეს ზუსტად ერთეულის სფერაზე წერტილის სფერული კოორდინატებია ℝ³-ში — ბლოხის სფერა.
პოლუსები:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (ჩრდილოეთი პოლუსი)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (სამხრეთ პოლუსი)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (ეკვატორის მდგომარეობები, მათ შორის |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
ორთოგონალური მდგომარეობები ისხამ ბლოხის სფეროს ანტიპოდალური წერტილებში. |0⟩ და |1⟩ მდებარეობენ საპირისპირო პოლუსებში; |+⟩ და |−⟩ მდებარეობენ ანტიპოდალურ ეკვატორის წერტილებში.
ბლოხის სფეროს წაკითხვა
კუბიტის ღილი არის უნიტარული ტრანსფორმაცია U, რომელიც ბლოხის სფეროს თავისთავზე აკარტისკებს — ბრუნვა. პაული X ღილი (კლასიკური NOT-ის ანალოგი) აკარტისკებს |0⟩ → |1⟩ და |1⟩ → |0⟩. ბლოხის სფეროზე, X შეასრულებს 180° ბრუნვას x-ღერძის ირგვლივ: ჩრდილოეთი პოლუსი აკარტისკება სამხრეთ პოლუსზე.
ორი-კუბიტი ჰილბერტის სივრცე
ორი კუბიტის A და B ჰილბერტის სივრცე არის ტენზორული ნამრავლი H_A ⊗ H_B. საფუძველი მდგომარეობები: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (ოთხი-განზომილებიანი სივრცე).
ნამრავლის მდგომარეობა (ან განცალკევადი მდგომარეობა) აქვს ფორმა:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
მაგალითად: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ და |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. ერთობლიო მდგომარეობა:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
გაითვალისწინეთ, რომ ოთხი ამპლიტუდა (αγ, αδ, βγ, βδ) აკმაყოფილებს შეზღუდვას: მატრიცა [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] აქვს რანგი 1 — ის იშლება გარე ნამრავლად.
გაბნეული მდგომარეობა არის ნებისმიერი მდგომარეობა, რომელიც ვერ დაიწერება ნამრავლის მდგომარეობად. ყველაზე ცნობილი: ბელი მდგომარეობა
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
ამპლიტუდის მატრიცა [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] აქვს რანგი 2 — ის ვერ იშლება გარე ნამრავლად. ცალკეული კუბიტის მდგომარეობა არ აღწერს სისტემას.
განცალკევადობის ტესტირება
შმიდტის დეკომპოზიცია იძლევა გეომეტრიულ კრიტერიუმს გაბნევის საწინააღმდეგოდ: ორი-ნაწილის მდგომარეობა განცალკევადია თუ და მხოლოდ თუ მისი შმიდტის რანგი არის 1. შმიდტის რანგი ტოლია ამპლიტუდის კოეფიციენტის მატრიცის არა-ნულოვანი სინგულარული მნიშვნელობების რიცხვის.
ორი-კუბიტი მდგომარეობის |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩ სთვის, ჩამოსახეთ 2×2 კოეფიციენტის მატრიცა C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. გამოთვალეთ სინგულარული მნიშვნელობები (C†C-ის საკუთარი მნიშვნელობების კვადრატული ფესვები). განცალკევადი ↔ ზუსტად ერთი არა-ნულოვანი სინგულარული მნიშვნელობა.