Przestrzeń z ilorazem wewnętrznym
Przestrzeń Hilberta H to przestrzeń wektorowa wyposażona w iloraz wewnętrzny ⟨·,·⟩, który definiuje geometrię, wspólnie z warunkiem pełniłości (każda ciągłość Cauchy'ego konwerguje w H).
Dla mechaniki kwantowej H może być wielowymiarowa (qubity, systemy spinowe) lub nieskończenie wielowymiarowa (pozycja, pęd). Iloraz dwóch stanów |ψ⟩ i |φ⟩ to ⟨ψ|φ⟩, liczba zespolona.
Normowanie: stan kwantowy |ψ⟩ to wektor jednostkowy: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Przestrzeń stanów jest więc sferyą jednostkową w H.
Ortogonalność: dwa stany |ψ⟩ i |φ⟩ są ortogonalne, gdy ⟨ψ|φ⟩ = 0. Stany ortogonalne są maksymalnie rozpoznawalne: pomiar zaprojektowany do wykrycia |ψ⟩ ma zerową szansę na znalezienie systemu w |φ⟩.
Baza: dowolny zbiór pełny i orthonormalny {|eᵢ⟩} z ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ oprócz H. Podstawienie komputerowe {|0⟩, |1⟩} dla qubitu składa się z dwóch ortogonalnych wektorów jednostkowych.
Pomiar jako Projekcja
Obserwable tworzy zestaw stanów własnych {|aᵢ⟩}, które tworzą bazę orthonormalną. Stan |ψ⟩ rozkłada się jako:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Współczynnik cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ to projekcja |ψ⟩ na stan własny |aᵢ⟩ - mierzy, w jakim kierunku |ψ⟩ wskazuje w kierunku |aᵢ⟩.
Reguła Born: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (długość projekcji)².
Geometrycznie: prawdopodobieństwo jest równoważne kwadratowi długości projekcji wektora stanu na przestrzeń własną. Im dłuższa projekcja, tym bardziej prawdopodobne jest to wynik.
To jest dokładnie ta sama zasada klasyczna dla rozkładania wektora na składowe - z tą różnicą, że w QM tylko jeden składowy 'przechodzi' każdym pomiar, a prawdopodobieństwo, który z nich przejdzie, jest równoważne jego kwadratowi długości.
Parametryzacja Stanów Qubitów
Stan qubitów |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ z warunkiem |α|² + |β|² = 1 ma nieskończenie wiele opcji - ale wiele z nich jest fizycznie równoważnych. Ostateczna globalna faza e^(iφ)|ψ⟩ jest fizycznie niewyczuwalna w stosunku do |ψ⟩ (prawdopodobieństwa nie zmieniają się, ponieważ |e^(iφ)α|² = |α|²).
Po usunięciu globalnej fazy, stan qubitów zależy dokładnie od dwóch parametrów rzeczywistych:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
gdzie θ ∈ [0°, 180°] to kąt polar, a φ ∈ [0°, 360°) to kąt azymutalny. Są to dokładnie współrzędne kuliste punktu na jednostkowej kuli w ℝ³ - kula Blocha.
Bieguny:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (biegun północny)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (biegun południowy)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (stanów równikowych, w tym |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Stanów ortogonalnych znajduje się na przeciwległych punktach kuli Blocha. |0⟩ i |1⟩ znajdują się naprzeciwko siebie na biegunach, a |+⟩ i |−⟩ na przeciwległych punktach równika.
Odczytywanie Kuli Blocha
Operacja na qubitach to jednostkowa transformacja U, która mapuje kulę Blocha na siebie - to jest rotacja. Operacja Pauli X (analogiczna do klasycznej NOT) mapuje |0⟩ → |1⟩ i |1⟩ → |0⟩. Na kuli Blocha X wykonuje rotację o 180° wokół osi x: biegun północny mapuje się na biegun południowy.
Dwukrotna przestrzeń Hilberta
Przestrzeń Hilberta dwóch kwantów A i B to tensory produkty H_A ⊗ H_B. Stanowiska bazowe: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (czterowymiarowy przestrzeń).
Stan prodkowy (lub rozłączalny) ma postać:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Na przykład: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ i |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Stan wspólny:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Zwróć uwagę, że cztery amplitudy (αγ, αδ, βγ, βδ) spełniają ograniczenie: macierz [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] ma rangę 1 — czyni to jako iloczyn zewnętrzny.
Stan zależny to dowolny stan, który NIE MOŻE być napisany jako stan produktowy. Najbardziej znany: stan Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Macierz amplitud [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] ma rangę 2 — nie może być iloczynem zewnętrznym. Nie można opisać stanu pojedynczego kwantu systemu.
Test separowalności
Rozkład Schmidt dostarcza kryterium geometrycznego dla zależności: dwa-qubitowy stan jest rozłączalny, jeśli i tylko wtedy, gdy rangę Schmidt wynosi 1. Ranga Schmidt równa się liczbie niezerowych wartości własnych macierzy współczynników amplitudy.
Dla dwu-qubitowego stanu |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, utwórz macierz 2x2 współczynników C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Oblicz wartości własne (korzenie wartości własnych C†C). Rozłączalny ↔ dokładnie jeden niezerowy własny wartość.