Przestrzeń Iloczynu Wewnętrznego
Przestrzeń Hilberta H to przestrzeń wektorowa wyposażona w iloczyn wewnętrzny ⟨·,·⟩ definiujący geometrię, wraz z warunkiem zupełności (każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny w H).
W mechanice kwantowej H może być skończeniewymiarowa (kubity, systemy spinowe) lub nieskończeniewymiarowa (pozycja, pęd). Iloczyn wewnętrzny dwóch stanów |ψ⟩ i |φ⟩ to ⟨ψ|φ⟩, liczba zespolona.
Normalizacja: stan kwantowy |ψ⟩ to wektor jednostkowy: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Przestrzeń stanów to zatem sfera jednostkowa w H.
Ortogonalność: dwa stany |ψ⟩ i |φ⟩ są ortogonalne, gdy ⟨ψ|φ⟩ = 0. Stany ortogonalne są maksymalnie rozróżnialne: pomiar zaprojektowany do wykrycia |ψ⟩ ma zerowe prawdopodobieństwo znalezienia systemu w |φ⟩.
Baza: każdy pełny ortonormalny zbiór {|eᵢ⟩} z ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ rozpina H. Baza obliczeniowa {|0⟩, |1⟩} dla kubitu składa się z dwóch ortogonalnych wektorów jednostkowych.
Pomiar jako Projekcja
Obserwabla tworzy zbiór stanów własnych {|aᵢ⟩} tworzących bazę ortonormalną. Stan |ψ⟩ rozszerza się jako:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Współczynnik cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ to projekcja |ψ⟩ na stan własny |aᵢ⟩ — mierzy, ile |ψ⟩ wskazuje w kierunku |aᵢ⟩.
Reguła Borna: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (długość projekcji)².
Geometrycznie: prawdopodobieństwo równa się kwadratowi długości projekcji wektora stanu na przestrzeń własną. Im dłuższa projekcja, tym bardziej prawdopodobny ten wynik.
To jest dokładnie klasyczna reguła rozkładu wektora na składniki — z wyjątkiem tego, że w QM, tylko jeden składnik 'przetrwaje' każdy pomiar, a prawdopodobieństwo, który przetrwa, równa się jego podniesionej do kwadratu długości.
Parametryzacja Stanów Kubitu
Stan kubitu |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ z |α|² + |β|² = 1 ma nieskończenie wiele wyborów — ale wiele jest fizycznie równoważnych. Ogólna globalna faza e^(iφ)|ψ⟩ jest fizycznie nierozróżnialna od |ψ⟩ (prawdopodobieństwa są niezmienione, ponieważ |e^(iφ)α|² = |α|²).
Po usunięciu fazy globalnej, stan kubitu zależy od dokładnie dwóch rzeczywistych parametrów:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
gdzie θ ∈ [0°, 180°] to kąt biegunowy, a φ ∈ [0°, 360°) to kąt azymutowy. To dokładnie współrzędne sferyczne punktu na sferze jednostkowej w ℝ³ — sfera Blocha.
Bieguny:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (biegun północny)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (biegun południowy)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (stany równikowe, w tym |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Stany ortogonalne znajdują się w punktach antypodycznych na sferze Blocha. |0⟩ i |1⟩ znajdują się na przeciwnych biegunach; |+⟩ i |−⟩ znajdują się w antypodycznych punktach równikowych.
Odczytywanie Sfery Blocha
Bramka kubitu to unitarna transformacja U mapująca sferę Blocha na siebie — rotacja. Bramka Pauliego X (analogiczna do klasycznego NOT) mapuje |0⟩ → |1⟩ i |1⟩ → |0⟩. Na sferze Blocha X wykonuje obrót o 180° wokół osi x: biegun północny mapuje się na biegun południowy.
Dwukubitowa Przestrzeń Hilberta
Przestrzeń Hilberta dwóch kubitów A i B to produkt tensorowy H_A ⊗ H_B. Stany bazowe: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (czterowymiarowa przestrzeń).
Stan produktu (lub stan separowalny) ma postać:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Na przykład: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ i |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Stan łączny:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Zauważ, że cztery amplitudy (αγ, αδ, βγ, βδ) spełniają ograniczenie: macierz [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] ma rząd 1 — rozpada się na iloczyn zewnętrzny.
Stan splątany to każdy stan, który nie może być zapisany jako stan produktu. Najsławniejszy: stan Bell'a
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Macierz amplitud [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] ma rząd 2 — nie może rozpadu się na iloczyn zewnętrzny. Żaden indywidualny stan kubitu nie opisuje systemu.
Testowanie Separowalności
Rozkład Schmidta zapewnia geometryczne kryterium splątania: stan dwuczęściowy jest separowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego rząd Schmidta wynosi 1. Rząd Schmidta równa się liczbie niezerowych wartości osobliwych macierzy współczynników amplitud.
Dla dwukubitowego stanu |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, utwórz macierz współczynników 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Oblicz wartości osobliwe (pierwiastki kwadratowe wartości własnych C†C). Separowalny ↔ dokładnie jedna niezerowa wartość osobliwa.