内積空間
ヒルベルト空間 H は、幾何学を定義する内積 ⟨·,·⟩ を備えたベクトル空間であり、完全性の条件（すべてのコーシー列が H で収束する）を満たします。
量子力学では、H は有限次元（量子ビット、スピン系）または無限次元（位置、運動量）です。二つの状態 |ψ⟩ と |φ⟩ の内積は ⟨ψ|φ⟩ で、複素数です。
規格化： 量子状態 |ψ⟩ は単位ベクトルです：⟨ψ|ψ⟩ = 1。状態空間は H の単位球です。
直交性： 二つの状態 |ψ⟩ と |φ⟩ は ⟨ψ|φ⟩ = 0 のとき直交しています。直交状態は最大限に区別可能です：|ψ⟩ を検出するために設計された測定は、系が |φ⟩ にある確率がゼロです。
基底： ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ を満たす任意の完全正規直交集合 {|eᵢ⟩} は H を張ります。量子ビットの計算基底 {|0⟩, |1⟩} は二つの直交単位ベクトルで構成されます。
測定を射影として
観測可能量は固有状態 {|aᵢ⟩} の集合を生じ、正規直交基底を形成します。状態 |ψ⟩ は以下のように展開されます：
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
係数 cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ は |ψ⟩ の固有状態 |aᵢ⟩ への射影であり、|ψ⟩ のうちどれだけが |aᵢ⟩ 方向を向いているかを測定します。
ボルン則：P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (射影長)²。
幾何学的には：確率は状態ベクトルの固有空間への射影長の二乗に等しいです。射影が長いほど、その結果がより確率が高いです。
これはベクトルを成分に分解する古典的な規則とまったく同じです。ただし QM では、各測定で1つの成分だけが「残り」、どの成分が残るかの確率はその二乗長に等しいです。
量子ビット状態のパラメータ化
量子ビット状態 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩（|α|² + |β|² = 1）は無限に多くの選択肢がありますが、多くは物理的に等価です。全体的なグローバル位相 e^(iφ)|ψ⟩ は物理的に |ψ⟩ と区別できません（確率は変わりません。なぜなら |e^(iφ)α|² = |α|² だから）。
グローバル位相を削除した後、量子ビット状態はちょうど2つの実パラメータに依存します：
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
ここで θ ∈ [0°, 180°] は極角で、φ ∈ [0°, 360°) は方位角です。これらは ℝ³ の単位球上の点の球面座標とまったく同じです — ブロッホ球。
極：
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩（北極）
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩（南極）
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩（赤道状態、|+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 を含む）
直交状態はブロッホ球の対蹠点に位置します。|0⟩ と |1⟩ は対極にあります；|+⟩ と |−⟩ は対蹠の赤道点です。
ブロッホ球を読み取る
量子ビットゲートはブロッホ球をそれ自身に写すユニタリ変換 U です — 回転です。パウリ X ゲート（古典的な NOT に類似）は |0⟩ → |1⟩ と |1⟩ → |0⟩ に写します。ブロッホ球では、X は x 軸の周りの 180° 回転を実行します：北極が南極に写ります。
二量子ビットヒルベルト空間
二つの量子ビット A と B のヒルベルト空間はテンソル積 H_A ⊗ H_B です。基底状態：|00⟩、|01⟩、|10⟩、|11⟩（4次元空間）。
積状態（または分離可能状態）は以下の形です：
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
例えば：|ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ と |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩。結合状態：
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
4つの振幅（αγ、αδ、βγ、βδ）は制約を満たすことに注意してください：行列 [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] はランク 1 を持っています — それは外積として因数分解されます。
纏絡状態は、積状態として書くことができない状態です。最も有名な：ベル状態
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
振幅行列 [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] はランク 2 を持っています — それは外積として因数分解できません。個々の量子ビット状態がシステムを説明することはできません。
分離可能性のテスト
シュミット分解は纏絡の幾何学的基準を提供します：二部状態は、そのシュミット数が 1 の場合のみ分離可能です。シュミット数は振幅係数行列の非ゼロ特異値の数に等しいです。
二量子ビット状態 |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩ について、2×2 係数行列 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]] を形成します。特異値（C†C の固有値の平方根）を計算します。分離可能 ↔ 正確に 1 つの非ゼロ特異値。