Ruang Hasil Kali Dalam
Sebuah ruang Hilbert H adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam ⟨·,·⟩ yang mendefinisikan geometri, bersama dengan kondisi kelengkapan (setiap barisan Cauchy konvergen di H).
Untuk mekanika kuantum, H dapat berdimensi terbatas (qubit, sistem spin) atau berdimensi tak terbatas (posisi, momentum). Hasil kali dalam dari dua keadaan |ψ⟩ dan |φ⟩ adalah ⟨ψ|φ⟩, sebuah bilangan kompleks.
Normalisasi: sebuah keadaan kuantum |ψ⟩ adalah vektor satuan: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Ruang keadaan adalah oleh karena itu bola satuan di H.
Ortogonalitas: dua keadaan |ψ⟩ dan |φ⟩ adalah ortogonal ketika ⟨ψ|φ⟩ = 0. Keadaan ortogonal adalah dapat dibedakan secara maksimal: pengukuran yang dirancang untuk mendeteksi |ψ⟩ memiliki probabilitas nol untuk menemukan sistem di |φ⟩.
Basis: himpunan ortonormal lengkap apa pun {|eᵢ⟩} dengan ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ menjangkau H. Basis komputasional {|0⟩, |1⟩} untuk qubit terdiri dari dua vektor satuan ortogonal.
Pengukuran sebagai Proyeksi
Sebuah observable membuat serangkaian eigenstate {|aᵢ⟩} yang membentuk basis ortonormal. Keadaan |ψ⟩ berkembang sebagai:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
Koefisien cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ adalah proyeksi dari |ψ⟩ ke eigenstate |aᵢ⟩ — mengukur seberapa banyak |ψ⟩ menunjuk ke arah |aᵢ⟩.
Aturan Born: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (panjang proyeksi)².
Secara geometris: probabilitas sama dengan kuadrat dari panjang proyeksi vektor keadaan ke eigenspace. Semakin panjang proyeksi, semakin mungkin hasil itu.
Ini adalah aturan klasik yang tepat untuk menguraikan vektor menjadi komponen — kecuali bahwa dalam MK, hanya satu komponen yang 'bertahan' setiap pengukuran, dan probabilitas mana yang bertahan sama dengan panjang kuadratnya.
Parametrisasi Keadaan Qubit
Keadaan qubit |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ dengan |α|² + |β|² = 1 memiliki infinitas banyak pilihan — tetapi banyak yang secara fisik setara. Fase global keseluruhan e^(iφ)|ψ⟩ tidak dapat dibedakan secara fisik dari |ψ⟩ (probabilitas tidak berubah karena |e^(iφ)α|² = |α|²).
Setelah menghapus fase global, keadaan qubit bergantung pada tepat dua parameter nyata:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
di mana θ ∈ [0°, 180°] adalah sudut polar dan φ ∈ [0°, 360°) adalah sudut azimut. Ini adalah tepat koordinat bola dari titik pada bola satuan dalam ℝ³ — bola Bloch.
Kutub:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (kutub utara)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (kutub selatan)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (keadaan khatulistiwa, termasuk |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
Keadaan ortogonal berada di titik antipodal pada bola Bloch. |0⟩ dan |1⟩ berada di kutub yang berlawanan; |+⟩ dan |−⟩ berada di titik antipodal khatulistiwa.
Membaca Bola Bloch
Gerbang qubit adalah transformasi uniter U yang memetakan bola Bloch ke dirinya sendiri — sebuah rotasi. Gerbang Pauli X (analog dengan NOT klasik) memetakan |0⟩ → |1⟩ dan |1⟩ → |0⟩. Pada bola Bloch, X melakukan rotasi 180° di sekitar sumbu x: kutub utara memetakan ke kutub selatan.
Ruang Hilbert Dua-Qubit
Ruang Hilbert dari dua qubit A dan B adalah hasil kali tensor H_A ⊗ H_B. Keadaan basis: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (ruang berdimensi empat).
Sebuah keadaan produk (atau keadaan terpisahkan) memiliki bentuk:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
Sebagai contoh: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ dan |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. Keadaan bersama:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
Perhatikan bahwa empat amplitudo (αγ, αδ, βγ, βδ) memenuhi kendala: matriks [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] memiliki rank 1 — itu faktor sebagai produk luar.
Sebuah keadaan terkait adalah keadaan apa pun yang TIDAK dapat ditulis sebagai keadaan produk. Yang paling terkenal: keadaan Bell
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Matriks amplitudo [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] memiliki rank 2 — tidak dapat faktor sebagai produk luar. Tidak ada keadaan qubit individual yang menggambarkan sistem.
Menguji Separabilitas
Dekomposisi Schmidt memberikan kriteria geometris untuk keterkaitan: keadaan dua-bagian adalah terpisahkan jika dan hanya jika rank Schmidtnya adalah 1. Rank Schmidt sama dengan jumlah nilai singular bukan nol dari matriks koefisien amplitudo.
Untuk keadaan dua-qubit |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩, bentuk matriks koefisien 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. Hitung nilai singular (akar kuadrat dari nilai eigen C†C). Terpisahkan ↔ tepat satu nilai singular bukan nol.