فضاء الجداء الداخلي
فضاء هيلبرت H هو فضاء متجهي مزود بجداء داخلي ⟨·,·⟩ يحدد الهندسة، مع شرط الاكتمال (كل متتالية كوشي تتقارب في H).
لميكانيكا الكم، يمكن لـ H أن تكون ذات بعد محدود (الكيوبتات، أنظمة الدوران) أو ذات بعد لا نهائي (الموضع، الزخم). الجداء الداخلي لحالتين |ψ⟩ و |φ⟩ هو ⟨ψ|φ⟩، عدد مركب.
التطبيع: الحالة الكمومية |ψ⟩ هي متجه وحدة: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. فضاء الحالة هو بالتالي كرة الوحدة في H.
التعامد: حالتان |ψ⟩ و |φ⟩ متعامدتان عندما ⟨ψ|φ⟩ = 0. الحالات المتعامدة قابلة للتمييز بشكل أقصى: قياس مصمم للكشف عن |ψ⟩ له احتمال صفر في إيجاد النظام في |φ⟩.
الأساس: أي مجموعة متعامدة منطبعة كاملة {|eᵢ⟩} مع ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ تشمل H. الأساس الحسابي {|0⟩, |1⟩} للكيوبت يتكون من متجهي وحدة متعامدين.
القياس كإسقاط
ملحوظ ما ينشئ مجموعة من الحالات الذاتية {|aᵢ⟩} التي تشكل أساساً متعامداً منطبعاً. الحالة |ψ⟩ تتسع حسب:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
المعامل cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ هو الإسقاط لـ |ψ⟩ على الحالة الذاتية |aᵢ⟩ — فهو يقيس كم من |ψ⟩ يشير في اتجاه |aᵢ⟩.
قاعدة بورن: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (طول الإسقاط)².
هندسياً: الاحتمال يساوي مربع طول إسقاط متجه الحالة على الفضاء الذاتي. كلما كان الإسقاط أطول، كان ذلك النتيجة أكثر احتمالاً.
هذه تماماً القاعدة الكلاسيكية لتحليل متجه إلى مكونات — باستثناء أنه في ميكانيكا الكم، مكون واحد فقط 'ينجو' من كل قياس، و احتمال أي مكون ينجو يساوي مربع طوله.
حدود حالات الكيوبت
حالة الكيوبت |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ مع |α|² + |β|² = 1 لها خيارات لا نهائية — لكن الكثير منها متكافئ فيزيائياً. مرحلة عامة عامة e^(iφ)|ψ⟩ لا يمكن تمييزها فيزيائياً عن |ψ⟩ (الاحتمالات لا تتغير لأن |e^(iφ)α|² = |α|²).
بعد إزالة المرحلة العامة، تعتمد حالة الكيوبت على معاملين حقيقيين بالضبط:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
حيث θ ∈ [0°, 180°] هي الزاوية القطبية و φ ∈ [0°, 360°) هي الزاوية السمتية. هذه بالضبط إحداثيات كروية لنقطة على كرة وحدة في ℝ³ — كرة بلوخ.
الأقطاب:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (القطب الشمالي)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (القطب الجنوبي)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (حالات استوائية، بما في ذلك |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2)
الحالات المتعامدة تجلس في نقاط متقابلة على كرة بلوخ. |0⟩ و |1⟩ في أقطاب معاكسة؛ |+⟩ و |−⟩ في نقاط استوائية متقابلة.
قراءة كرة بلوخ
بوابة الكيوبت هي تحويل وحدي U يعيد كرة بلوخ إلى نفسها — دوران. بوابة باولي X (مشابهة لـ NOT الكلاسيكي) تعيد |0⟩ → |1⟩ و |1⟩ → |0⟩. على كرة بلوخ، X تؤدي دوراناً بـ 180° حول محور x: القطب الشمالي يعيد إلى القطب الجنوبي.
فضاء هيلبرت للكيوبتين
فضاء هيلبرت للكيوبتين A و B هو الجداء التنسوري H_A ⊗ H_B. حالات الأساس: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (فضاء رباعي الأبعاد).
الحالة المنتجة (أو الحالة القابلة للفصل) لها الشكل:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
مثلاً: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ و |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. الحالة المشتركة:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
لاحظ أن المعاملات الأربعة (αγ, αδ, βγ, βδ) تحقق قيداً: المصفوفة [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] لها رتبة 1 — تنقسم كجداء خارجي.
الحالة المتشابكة هي أي حالة لا يمكن كتابتها كحالة منتجة. الأشهر: حالة بيل
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
مصفوفة السعة [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] لها رتبة 2 — لا يمكن أن تنقسم كجداء خارجي. لا توجد حالة كيوبت فردي تصف النظام.
اختبار القابلية للفصل
تحليل شميدت يوفر معياراً هندسياً لـ التشابك: حالة ذات جزأين قابلة للفصل إن و فقط إن رتبة شميدت لها 1. رتبة شميدت تساوي عدد القيم الذاتية غير الصفرية لمصفوفة معاملات السعة.
لحالة كيوبتين |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩، اشكل مصفوفة معاملات 2×2 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]. احسب القيم الذاتية (جذور القيم الذاتية لـ C†C). قابلة للفصل ↔ بالضبط قيمة ذاتية واحدة غير صفرية.