내적 공간
힐베르트 공간 H는 기하학을 정의하는 내적 ⟨·,·⟩으로 갖춘 벡터 공간이며, 완비성 조건(모든 코시 수열이 H에서 수렴함)을 가집니다.
양자역학에서 H는 유한차원(큐비트, 스핀 시스템) 또는 무한차원(위치, 운동량)일 수 있습니다. 두 상태 |ψ⟩와 |φ⟩의 내적은 ⟨ψ|φ⟩이며, 복소수입니다.
정규화: 양자 상태 |ψ⟩는 단위 벡터입니다: ⟨ψ|ψ⟩ = 1. 따라서 상태 공간은 H의 단위 구입니다.
직교성: 두 상태 |ψ⟩와 |φ⟩가 직교할 때 ⟨ψ|φ⟩ = 0입니다. 직교 상태들은 최대로 구별 가능합니다: |ψ⟩를 감지하도록 설계된 측정은 시스템이 |φ⟩에 있을 확률이 0입니다.
기저: ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ를 만족하는 완전한 정규직교 집합 {|eᵢ⟩}은 H를 생성합니다. 큐비트에 대한 계산 기저 {|0⟩, |1⟩}는 두 개의 직교 단위 벡터로 구성됩니다.
측정을 사영으로
관측량은 정규직교 기저를 형성하는 고유 상태 집합 {|aᵢ⟩}을 만듭니다. 상태 |ψ⟩는 다음과 같이 전개됩니다:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
계수 cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩는 |ψ⟩를 고유 상태 |aᵢ⟩에 사영한 것입니다 — |ψ⟩의 얼마나 많은 부분이 |aᵢ⟩ 방향을 향하는지를 측정합니다.
보른 규칙: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (사영 길이)².
기하학적으로: 확률은 고유 공간에 대한 상태 벡터의 사영 길이의 제곱과 같습니다. 사영이 길수록 그 결과가 더 확률적입니다.
이것은 벡터를 성분으로 분해하는 고전적 규칙과 정확히 같습니다 — 단, QM에서는 각 측정에서 단 하나의 성분만 '살아남'으로, 어느 것이 살아남을 확률은 그 제곱 길이와 같습니다.
큐비트 상태 매개변수화
큐비트 상태 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩는 |α|² + |β|² = 1을 만족하므로 무한히 많은 선택이 있습니다 — 하지만 많은 것들이 물리적으로 동등합니다. 전체 위상 e^(iφ)|ψ⟩는 |ψ⟩와 물리적으로 구별할 수 없습니다(확률이 |e^(iφ)α|² = |α|²이므로).
전체 위상을 제거한 후, 큐비트 상태는 정확히 두 개의 실수 매개변수에 의존합니다:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
여기서 θ ∈ [0°, 180°]는 극각이고 φ ∈ [0°, 360°)는 방위각입니다. 이들은 단위 구의 점에 대한 구면 좌표와 정확히 같습니다 — 블로흐 구입니다.
극점:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (북극)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (남극)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (적도 상태, |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 포함)
직교 상태는 블로흐 구의 대척점에 위치합니다. |0⟩과 |1⟩은 반대 극점에 있습니다; |+⟩와 |−⟩는 대척 적도점에 있습니다.
블로흐 구 읽기
큐비트 게이트는 블로흐 구를 자신에게 매핑하는 유니타리 변환 U입니다 — 회전입니다. Pauli X 게이트(고전적 NOT과 유사)는 |0⟩ → |1⟩과 |1⟩ → |0⟩를 매핑합니다. 블로흐 구에서, X는 x축 주위에 180° 회전을 수행합니다: 북극은 남극으로 매핑됩니다.
2-큐비트 힐베르트 공간
두 큐비트 A와 B의 힐베르트 공간은 텐서 곱 H_A ⊗ H_B입니다. 기저 상태: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (4차원 공간).
곱 상태(또는 분리 가능한 상태)는 다음 형식입니다:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
예를 들어: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 및 |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩. 결합 상태:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
네 개의 진폭(αγ, αδ, βγ, βδ)이 제약을 만족함을 주목하세요: 행렬 [[αγ, αδ], [βγ, βδ]]는 랭크 1을 가집니다 — 외적으로 인수분해됩니다.
얽힌 상태는 곱 상태로 쓸 수 없는 모든 상태입니다. 가장 유명한 것: 벨 상태
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
진폭 행렬 [[1/√2, 0], [0, 1/√2]]는 랭크 2를 가집니다 — 외적으로 인수분해될 수 없습니다. 어떤 개별 큐비트 상태도 시스템을 설명하지 못합니다.
분리성 테스트
슈미트 분해는 얽힘에 대한 기하학적 기준을 제공합니다: 2-부분 상태는 슈미트 랭크가 1인 경우에만 분리 가능합니다. 슈미트 랭크는 진폭 계수 행렬의 0이 아닌 특이값의 개수와 같습니다.
2-큐비트 상태 |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩의 경우, 2×2 계수 행렬 C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]을 형성하세요. 특이값을 계산하세요(C†C 고유값의 제곱근). 분리 가능 ↔ 정확히 하나의 0이 아닌 특이값.