आंतरिक गुणनफल स्थान
एक Hilbert space H एक सदिश स्थान है जो एक आंतरिक गुणनफल ⟨·,·⟩ से सुसज्जित है जो ज्यामिति को परिभाषित करता है, साथ ही एक पूर्णता शर्त (प्रत्येक Cauchy अनुक्रम H में अभिसरण करता है)।
क्वांटम यांत्रिकी के लिए, H परिमित-आयामी (qubits, spin systems) या अनंत-आयामी (position, momentum) हो सकता है। दो अवस्थाओं |ψ⟩ और |φ⟩ का आंतरिक गुणनफल ⟨ψ|φ⟩ है, एक जटिल संख्या।
सामान्यीकरण: एक क्वांटम अवस्था |ψ⟩ एक इकाई सदिश है: ⟨ψ|ψ⟩ = 1। अवस्था स्थान इसलिए H में इकाई गोला है।
लंबकोणीयता: दो अवस्थाएँ |ψ⟩ और |φ⟩ लंबकोणीय हैं जब ⟨ψ|φ⟩ = 0। लंबकोणीय अवस्थाएँ अधिकतम रूप से विभेद्य हैं: |ψ⟩ को detect करने के लिए डिज़ाइन किया गया माप |φ⟩ में सिस्टम खोजने की शून्य संभावना है।
आधार: कोई भी पूर्ण लंबकोणीय समुच्चय {|eᵢ⟩} जिसमें ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ H को विस्तृत करता है। एक qubit के लिए computational basis {|0⟩, |1⟩} दो लंबकोणीय इकाई सदिश हैं।
माप को प्रक्षेपण के रूप में
एक observable अवस्थाओं का एक समुच्चय {|aᵢ⟩} बनाता है जो एक लंबकोणीय आधार बनाती हैं। अवस्था |ψ⟩ निम्नानुसार विस्तृत होती है:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩
गुणांक cᵢ = ⟨aᵢ|ψ⟩ |ψ⟩ का eigenstate |aᵢ⟩ पर प्रक्षेपण है — यह मापता है कि |ψ⟩ का कितना भाग |aᵢ⟩ दिशा में इंगित करता है।
Born नियम: P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|² = (प्रक्षेपण लंबाई)²।
ज्यामितीय रूप से: संभावना अवस्था सदिश की eigenspace पर प्रक्षेपण लंबाई के वर्ग के बराबर है। प्रक्षेपण जितना लंबा होगा, वह परिणाम उतना ही संभावित है।
यह बिल्कुल शास्त्रीय नियम जैसा है एक सदिश को घटकों में विघटित करने के लिए — सिवाय इसके कि QM में, प्रत्येक माप में केवल एक घटक 'जीवित रहता है', और कौन सा जीवित रहता है इसकी संभावना इसकी वर्गीकृत लंबाई के बराबर होती है।
Qubit अवस्थाओं को पैरामीट्रिज करना
एक qubit अवस्था |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ जिसमें |α|² + |β|² = 1 के पास असीम रूप से कई विकल्प हैं — लेकिन बहुत से भौतिक रूप से समकक्ष हैं। एक सामान्य global phase e^(iφ)|ψ⟩ |ψ⟩ से भौतिक रूप से अविभेद्य है (संभावनाएँ अपरिवर्तित रहती हैं क्योंकि |e^(iφ)α|² = |α|²)।
Global phase को हटाने के बाद, एक qubit अवस्था बिल्कुल दो वास्तविक मापदंडों पर निर्भर करती है:
|ψ(θ,φ)⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩
जहाँ θ ∈ [0°, 180°] ध्रुवीय कोण है और φ ∈ [0°, 360°) azimuthal कोण है। ये ℝ³ में एक इकाई गोले के spherical निर्देशांक हैं — Bloch sphere।
ध्रुव:
- θ = 0: |ψ⟩ = |0⟩ (उत्तरी ध्रुव)
- θ = 180°: |ψ⟩ = |1⟩ (दक्षिणी ध्रुव)
- θ = 90°: |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + e^(iφ)|1⟩ (equatorial अवस्थाएँ, जिनमें |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 शामिल है)
लंबकोणीय अवस्थाएँ Bloch sphere पर antipodal बिंदुओं पर बैठती हैं। |0⟩ और |1⟩ विपरीत ध्रुवों पर हैं; |+⟩ और |−⟩ antipodal equatorial बिंदुओं पर हैं।
Bloch Sphere को पढ़ना
एक qubit gate एक unitary रूपांतरण U है जो Bloch sphere को स्वयं पर मैप करता है — एक rotation। Pauli X gate (शास्त्रीय NOT के अनुरूप) |0⟩ → |1⟩ और |1⟩ → |0⟩ को मैप करता है। Bloch sphere पर, X x-अक्ष के चारों ओर 180° rotation करता है: उत्तरी ध्रुव दक्षिणी ध्रुव को मैप करता है।
Two-Qubit Hilbert Space
दो qubits A और B का Hilbert space tensor product H_A ⊗ H_B है। आधार अवस्थाएँ: |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ (चार-आयामी स्थान)।
एक product state (या separable state) का रूप है:
|ψ_AB⟩ = |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩
उदाहरण के लिए: |ψ_A⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ और |ψ_B⟩ = γ|0⟩ + δ|1⟩। joint state:
|ψ_AB⟩ = αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
ध्यान दें कि चार amplitudes (αγ, αδ, βγ, βδ) एक बाधा को संतुष्ट करते हैं: matrix [[αγ, αδ], [βγ, βδ]] का rank 1 है — यह एक outer product के रूप में गुणक है।
एक entangled state कोई भी अवस्था है जो एक product state के रूप में नहीं लिखी जा सकती। सबसे प्रसिद्ध: Bell state
|Φ⁺⟩ = (1/√2)(|00⟩ + |11⟩)
Amplitude matrix [[1/√2, 0], [0, 1/√2]] का rank 2 है — यह एक outer product के रूप में गुणक नहीं हो सकता। कोई भी अलग qubit state सिस्टम का वर्णन नहीं कर सकता।
Separability का परीक्षण
Schmidt decomposition एक ज्यामितीय मानदंड प्रदान करता है separability के लिए: एक two-part state separable है अगर और केवल अगर इसका Schmidt rank 1 है। Schmidt rank amplitude गुणांक matrix के गैर-शून्य singular values की संख्या के बराबर है।
एक two-qubit state |ψ⟩ = Σᵢⱼ cᵢⱼ|ij⟩ के लिए, गुणांक matrix C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]] बनाएँ। singular values की गणना करें (C†C के eigenvalues के वर्गमूल)। Separable ↔ ठीक एक गैर-शून्य singular value।