기하학적 변환으로서의 계면
스넬 법칙 n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂는 광선이 경계면에서 방향을 어떻게 바꾸는지 설명합니다. 기하학적으로는 입사각 θ₁을 단조함수를 통해 투과각 θ₂로 매핑합니다.
f: [0°, 90°] → [0°, 90°]을 f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁)로 정의합니다. n₁ > n₂일 때(광선이 밀도 높은 매질에서 낮은 매질로 이동할 때), f는 각도를 증폭시킵니다: 작은 입력 각도가 더 큰 출력 각도가 됩니다.
임계각은 f(θ_c) = 90°인 입력값으로 나타나며:
sin θ_c = n₂/n₁
θ_c를 초과하는 입사각의 경우 함수는 실수 출력을 갖지 않습니다: 투과광선이 사라집니다. 모든 입사 강도가 반사됩니다. 이것이 전반사입니다.
수치 개구각: 수용 원뿔
광선이 공기(n₀ = 1.0)에서 광섬유로 진입합니다. 광섬유 면을 통해 들어오는 모든 광선이 코어-클래딩 경계에서 전반사를 겪는 것은 아닙니다. 광섬유 입구에서 특정 각도의 원뿔 범위 내의 광선만 안내됩니다.
수치 개구각(NA)은 이 수용 원뿔의 반각을 측정합니다:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
여기서 n₁은 코어 굴절률이고 n₂는 클래딩 굴절률입니다. 이는 입구 면에서 스넬 법칙을 적용한 후 굴절된 광선이 코어-클래딩 경계에 정확히 임계각에서 충돌해야 한다는 요구 사항에서 나옵니다.
더 큰 NA는 더 넓은 수용 원뿔을 의미합니다: 광선 결합이 더 쉽지만, 더 많은 모드가 허용되어 분산이 증가합니다.
코어 외부의 지수적 감쇠
전반사는 코어-클래딩 경계에서 전자기장이 순간적으로 사라진다는 의미가 아닙니다. 장은 경계에서 거리 z만큼 떨어진 곳에서 지수적으로 감쇠하는 소멸파로 클래딩으로 침투합니다:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
여기서 침투 깊이 d_p는 파장 λ, 입사각 θ, 굴절률에 따라 달라집니다:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
θ가 θ_c에 위에서 접근할수록 분모는 0에 접근하고 d_p → ∞입니다: 임계각을 겨우 초과하는 각도에서 소멸파는 더 멀리 뻗어나갑니다. 전반사 깊숙이(θ >> θ_c)에서 d_p는 대략 λ/4로 축소됩니다.
실제 결과: 두 광섬유를 서로 가까이 배치하면 그들의 소멸파를 통해 광선을 교환할 수 있습니다 — 방향성 커플러입니다. 이는 기계적 연결 없이 전력 분할, 파장 멀티플렉싱, 광학 스위칭을 가능하게 합니다.
소멸파 결합
소멸파 커플러는 두 광섬유 코어를 서로 몇 파장 범위 내에 평행하게 배치합니다. 광선은 겹치는 소멸파를 통해 한 코어에서 다른 코어로 터널링합니다.
V 수와 모드 개수
광섬유가 몇 개의 모드를 지원합니까? 하나의 무차원 수, V 수(또는 정규화된 주파수)가 이를 결정합니다:
V = (π · d · NA) / λ
여기서 d는 코어 직경, NA는 수치 개구각, λ는 파장입니다.
광섬유는 V < 2.405(베셀 함수 J₀의 첫 번째 0)일 때만 하나의 모드(단일 모드)를 지원합니다. V > 2.405일 때 여러 모드가 나타납니다. 큰 V의 경우 모드 개수는 대략 V²/2로 확장됩니다.
λ = 1550 nm에서 NA = 0.12로 단일 모드 작동을 보장하려면:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
이것이 원격통신 단일 모드 광섬유가 약 8–10 µm의 코어 직경을 사용하는 이유입니다: V < 2.405 요구 사항으로 설정된 기하학적 제약입니다.