Granica jako Transformacja Geometryczna
Prawo Snella n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ opisuje, jak promień zmienia kierunek na granicy. Geometrycznie mapuje kąt padania θ₁ na kąt transmisji θ₂ poprzez funkcję monotoniczną.
Definiujemy f: [0°, 90°] → [0°, 90°] przez f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Gdy n₁ > n₂ (światło przechodzi z ośrodka gęstszego na rzadszy), f wzmacnia kąty: małe kąty wejściowe stają się większymi kątami wyjściowymi.
Kąt krytyczny pojawia się jako wartość wejściowa, gdzie f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Dla kątów wejściowych przekraczających θ_c funkcja nie ma rzeczywistego wyjścia: promień transmitowany znika. Całe natężenie padające się odbija. To jest całkowite odbicie wewnętrzne.
Apertura Numeryczna: Stożek Akceptacji
Światło wchodzi do włókna z powietrza (n₀ = 1.0). Nie każdy promień wchodzący na ścianę włókna podlegać będzie całkowitemu wewnętrznemu odbiciu na granicy rdzeń-osłona. Tylko promienie w pewnym stożku kątów na wejściu włókna będą prowadzone.
Apertura numeryczna (NA) mierzy półkąt tego stożka akceptacji:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
gdzie n₁ jest wskaźnikiem rdzenia a n₂ jest wskaźnikiem osłony. Wynika to z zastosowania prawa Snella na ściance wejścia, a następnie wymagania, aby promień załamany trafił granicę rdzeń-osłona dokładnie pod kątem krytycznym.
Większe NA oznacza szerszy stożek akceptacji: łatwiej sprzęgać światło, ale więcej dopuszczonych modów, zwiększające dyspersję.
Zanikanie Wykładnicze Poza Rdzeniem
Całkowite odbicie wewnętrzne nie oznacza, że pole elektromagnetyczne znika natychmiast na granicy rdzeń-osłona. Pole penetruje w osłonę jako fala zanikająca, która zanika wykładniczo z odległością z od interfejsu:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
gdzie głębokość przenikania d_p zależy od długości fali λ, kąta padania θ, oraz wskaźników refrakcji:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Gdy θ zbliża się do θ_c z góry, mianownik zbliża się do zera i d_p → ∞: pole zanikające rozciąga się dalej gdy kąt ledwo przekracza kąt krytyczny. Głęboko w całkowitym odbiciu wewnętrznym (θ >> θ_c), d_p kurczy się do w przybliżeniu λ/4.
Konsekwencja praktyczna: dwa włókna umieszczone wystarczająco blisko siebie mogą wymieniać światło przez swoje pola zanikające — sprzęgacz kierunkowy. To umożliwia dzielenie mocy, multipleksowanie długości fali, & przełączanie optyczne bez połączeń mechanicznych.
Sprzęganie Zanikające
Sprzęgacz zanikający umieszcza dwa rdzenie włókniste równolegle w obrębie kilku długości fali od siebie. Światło tuneluje z jednego rdzenia do drugiego przez nakładające się pola zanikające.
Liczba V i Liczba Modów
Ile modów wspiera włókno? Jedna bezwymiarowa liczba, liczba V (lub znormalizowana częstotliwość), określa to:
V = (π · d · NA) / λ
gdzie d jest średnicą rdzenia, NA jest aperturą numeryczną, a λ jest długością fali.
Włókno wspiera tylko jeden mod (jednomodo we) gdy V < 2.405 (pierwsze zero funkcji Bessela J₀). Wiele modów pojawia się gdy V > 2.405. Liczba modów skaluje się w przybliżeniu jak V²/2 dla dużych V.
Aby zagwarantować operację jednomodo wą przy λ = 1550 nm z NA = 0.12:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
To jest dlaczego włókno jednomodo we telekomunikacyjne używa średnicy rdzenia ≈8–10 µm: ograniczenie geometryczne ustalone przez wymóg V < 2.405.