La Interfaz como Transformación Geométrica
La ley de Snell n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂ describe cómo un rayo cambia de dirección en una frontera. Geométricamente, asigna un ángulo de incidencia θ₁ a un ángulo de transmisión θ₂ mediante una función monótona.
Defina f: [0°, 90°] → [0°, 90°] por f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sen θ₁). Cuando n₁ > n₂ (luz que va de un medio denso a uno menos denso), f amplifica ángulos: los ángulos de entrada pequeños se convierten en ángulos de salida más grandes.
El ángulo crítico surge como el valor de entrada donde f(θ_c) = 90°:
sen θ_c = n₂/n₁
Para ángulos de entrada más allá de θ_c, la función no tiene salida real: el rayo transmitido desaparece. Toda la intensidad incidente se refleja. Esta es reflexión interna total.
Apertura Numérica: el Cono de Aceptación
La luz entra en una fibra desde el aire (n₀ = 1.0). No todos los rayos que entran en la cara de la fibra sufrirán reflexión interna total en la frontera núcleo-revestimiento. Solo los rayos dentro de un cierto cono de ángulos en la entrada de la fibra serán guiados.
La apertura numérica (NA) mide el semiángulo de este cono de aceptación:
NA = n₀ sen(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
donde n₁ es el índice del núcleo y n₂ es el índice del revestimiento. Esto se deduce de aplicar la ley de Snell en la cara de entrada y luego requerir que el rayo refractado golpee la frontera núcleo-revestimiento exactamente en el ángulo crítico.
Una NA más grande significa un cono de aceptación más amplio: más fácil acoplar luz, pero se permiten más modos, aumentando la dispersión.
El Decaimiento Exponencial Fuera del Núcleo
La reflexión interna total no significa que el campo electromagnético desaparezca instantáneamente en la frontera núcleo-revestimiento. El campo penetra en el revestimiento como una onda evanescente que decae exponencialmente con la distancia z desde la interfaz:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
donde la profundidad de penetración d_p depende de la longitud de onda λ, el ángulo de incidencia θ y los índices refractivos:
d_p = λ / (4π √(n₁² sen²θ − n₂²))
Cuando θ se acerca a θ_c desde arriba, el denominador se acerca a cero y d_p → ∞: el campo evanescente se extiende más cuando el ángulo apenas excede el ángulo crítico. Profundamente en reflexión interna total (θ >> θ_c), d_p se reduce aproximadamente a λ/4.
Consecuencia práctica: dos fibras colocadas lo suficientemente cerca pueden intercambiar luz a través de sus campos evanescentes — un acoplador direccional. Esto permite división de potencia, multiplexación de longitud de onda, & conmutación óptica sin conexiones mecánicas.
Acoplamiento Evanescente
Un acoplador evanescente coloca dos núcleos de fibra en paralelo dentro de pocas longitudes de onda entre sí. La luz atraviesa de un núcleo a otro a través de los campos evanescentes superpuestos.
El Número V y el Conteo de Modos
¿Cuántos modos soporta una fibra? Un único número adimensional, el número V (o frecuencia normalizada), determina esto:
V = (π · d · NA) / λ
donde d es el diámetro del núcleo, NA es la apertura numérica, y λ es la longitud de onda.
Una fibra soporta solo un modo (monomodo) cuando V < 2.405 (el primer cero de la función de Bessel J₀). Múltiples modos aparecen cuando V > 2.405. El conteo de modos se escala aproximadamente como V²/2 para V grande.
Para garantizar operación monomodo a λ = 1550 nm con NA = 0.12:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
Esta es la razón por la cual la fibra monomodo de telecom usa un diámetro de núcleo de ≈8–10 µm: una restricción geométrica establecida por el requisito V < 2.405.