Die Grenzfläche als geometrische Transformation
Snellsches Gesetz n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ beschreibt, wie sich ein Strahl an einer Grenzfläche ändert. Geometrisch bildet es einen Einfallswinkel θ₁ auf einen Transmissionswinkel θ₂ über eine monotone Funktion ab.
Definiere f: [0°, 90°] → [0°, 90°] durch f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Wenn n₁ > n₂ (Licht geht von dichtem zu dünnem Medium), verstärkt f die Winkel: kleine Eingabewinkel werden größere Ausgabewinkel.
Der kritische Winkel taucht als der Eingabewert auf, bei dem f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Für Eingabewinkel jenseits von θ_c hat die Funktion keine echte Ausgabe: der übertragene Strahl verschwindet. Die gesamte Einfallsintensität wird reflektiert. Dies ist Totalreflexion.
Numerische Apertur: der Akzeptanzkegel
Licht tritt aus der Luft (n₀ = 1,0) in eine Faser ein. Nicht jeder Strahl, der in die Faseroberfläche eintritt, erfährt Totalreflexion an der Kern-Mantel-Grenzfläche. Nur Strahlen in einem bestimmten Winkelkegel am Faseransatz werden geführt.
Die numerische Apertur (NA) misst den Halbwinkel dieses Akzeptanzkegels:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
wobei n₁ der Kernbrechungsindex und n₂ der Mantelbrechungsindex ist. Dies folgt daraus, dass man Snellsches Gesetz an der Eintrittsfläche anwendet und dann verlangt, dass der gebrochene Strahl die Kern-Mantel-Grenzfläche genau im kritischen Winkel trifft.
Eine größere NA bedeutet einen breiteren Akzeptanzkegel: einfacher, Licht zu koppeln, aber mehr erlaubte Modi, was die Dispersion erhöht.
Der exponentielle Zerfall außerhalb des Kerns
Totalreflexion bedeutet nicht, dass das elektromagnetische Feld an der Kern-Mantel-Grenzfläche sofort verschwindet. Das Feld dringt in den Mantel als evaneszente Welle ein, die exponentiell mit der Entfernung z von der Grenzfläche abfällt:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
wobei die Eindringtiefe d_p von der Wellenlänge λ, dem Einfallswinkel θ und den Brechungsindizes abhängt:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Wenn sich θ von oben θ_c nähert, nähert sich der Nenner Null und d_p → ∞: das evaneszente Feld erstreckt sich weiter, wenn der Winkel kaum den kritischen Winkel überschreitet. Tief in der Totalreflexion (θ >> θ_c) schrumpft d_p auf etwa λ/4.
Praktische Folge: zwei Fasern, die eng genug beieinander platziert sind, können Licht durch ihre evaneszenten Felder austauschen — ein Richtkoppler. Dies ermöglicht Leistungsaufteiling, Wellenlängenmultiplexing & optisches Schalten ohne mechanische Verbindungen.
Evaneszente Kopplung
Ein evaneszenter Koppler platziert zwei Faserkerne parallel im Abstand von wenigen Wellenlängen. Licht tunnelt von einem Kern zum anderen durch die überlappenden evaneszenten Felder.
Die V-Nummer und Modenanzahl
Wie viele Modi unterstützt eine Faser? Eine einzelne dimensionslose Zahl, die V-Nummer (oder normalisierte Frequenz), bestimmt dies:
V = (π · d · NA) / λ
wobei d der Kerndurchmesser ist, NA die numerische Apertur ist und λ die Wellenlänge ist.
Eine Faser unterstützt nur einen Modus (Einkern), wenn V < 2,405 (die erste Null der Bessel-Funktion J₀). Mehrfachmodi erscheinen, wenn V > 2,405. Die Modenanzahl skaliert grob als V²/2 für große V.
Um Einkern-Betrieb bei λ = 1550 nm mit NA = 0,12 zu garantieren:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
Dies ist der Grund, warum Telekommunikations-Einkern-Faser einen Kerndurchmesser von ≈8–10 µm verwendet: eine geometrische Beschränkung durch die Anforderung V < 2,405.