Die Grenzfläche als geometrische Transform
Snellsches Gesetz n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ beschreibt, wie ein Strahl bei einer Grenze verändert. Geometrisch handelt es sich um eine Abbildung, die ein Eingangswinkel θ₁ auf einen übertragenen Winkel θ₂ mithilfe einer monotonen Funktion abbildet.
Definiere f: [0°, 90°] → [0°, 90°] durch f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Wenn n₁ > n₂ (Licht geht von dichtem in ein weniger dichtes Medium über), vergrößert f Winkel: kleine Eingangswinkel werden zu größeren Ausgangswinkeln.
Der kritische Winkel tritt als Eingabewert auf, bei dem f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Für Eingangswinkel über θ_c hat die Funktion keine reelle Ausgabe: der übertragenen Strahl verschwindet. Die gesamte einfallende Intensität wird reflektiert. Das ist totale interne Reflexion.
Numerischer Apertur: der Akzeptanzkegel
Licht tritt eine Faser von Luft (n₀ = 1,0) ein. Nicht jedes Strahl, das in die Faser eintritt, wird durch totale interne Reflexion an der Kern-Umhüllungsgrenze weitergeleitet. Nur Strahlen innerhalb eines bestimmten Kegels von Winkeln am Faser-Eingang werden geleitet.
Die numerische Apertur (NA) misst die Halbwinkel des Akzeptanzkegels:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
wobei n₁ der Kernindex und n₂ der Umhüllungsindex ist. Dies ergibt sich aus der Anwendung von Snellsches Gesetz an der Eingangsgrenze und dann die Verlangen, dass der brechende Strahl die Kern-Umhüllungsgrenze genau unter dem kritischen Winkel trifft.
Ein größerer NA bedeutet einen größeren Akzeptanzkegel: leichter Licht in koppeln, aber mehr Modi erlauben, was die Dispersion erhöht.
Der exponentielle Verfall außerhalb des Kernes
Die totale interne Reflexion bedeutet nicht, dass das elektromagnetische Feld unmittelbar an der Kern-Schichten-Grenze verschwindet. Das Feld dringt in die Schicht als auswärtige Welle ein, die exponentiell mit der Entfernung z vom Interface abnimmt:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
wobei die Durchdringungstiefe d_p von der Wellenlänge λ, dem Einfallswinkel θ und den Brechzahlen abhängt:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Wenn θ von oben auf θ_c heranführt, nähert sich der Nenner null und d_p → ∞: Das auswärtige Feld reicht weiter, wenn der Winkel knapp über der kritischen Winkel liegt. Tief in den Bereich der totalen inneren Reflexion (θ >> θ_c), verkleinert sich d_p auf etwa λ/4.
Praktische Konsequenz: Zwei Fasern, die eng genug zusammengebracht werden, können Licht über ihre auswärtigen Felder austauschen - eine Richtungskupler. Dies ermöglicht die Leistungsteilung, Wellenlängenmultiplexung und optische Schalter ohne mechanische Verbindungen.
Auswärtige Kopplung
Ein auswärtiger Kuppler positioniert zwei Faserkerne parallel, nur wenige Wellenlängen voneinander entfernt. Das Licht tünnt sich von einem Kern zum anderen durch die überlappenden auswärtigen Felder.
Das V-Zahl und die Modanzahl
Wie viele Modi unterstützt eine Faser? Eine dimensionslose Zahl, die V-Zahl (oder normalisierte Frequenz), bestimmt dies:
V = (π · d · NA) / λ
wo d der Kern-Durchmesser, NA die numerische Apertur und λ die Wellenlänge ist.
Eine Faser unterstützt nur einen Modus (einweg) wenn V < 2,405 (die erste Null der Bessel-Funktion J₀). Mehrere Modi treten auf, wenn V > 2,405. Die Modzahl skaliert ungefähr als V²/2 für große V.
Um bei λ = 1550 nm mit NA = 0,12 einweg-Betrieb zu garantieren:
V < 2,405 → d < (2,405 · λ) / (π · NA) = (2,405 × 1550 nm) / (π × 0,12) ≈ 9,9 µm
Dies ist der Grund, warum Telekommunikations-einweg-Faser einen Kern-Durchmesser von ≈ 8-10 µm verwendet: Eine geometrische Einschränkung, die durch die Anforderung V < 2,405 festgelegt ist.