Границя як геометрична трансформація
Закон Снеля n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ описує, як промінь змінює напрямок на границі. Геометрично він відображає кут падіння θ₁ в кут передачі θ₂ через монотонну функцію.
Визначте f: [0°, 90°] → [0°, 90°] як f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Коли n₁ > n₂ (світло переходить з густого середовища в рідке), f підсилює кути: малі вхідні кути стають більшими вихідними кутами.
Критичний кут виникає як вхідне значення, де f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Для вхідних кутів, що перевищують θ_c, функція не має реального виходу: передавальний промінь зникає. Вся вхідна інтенсивність відбивається. Це повне внутрішнє відбиття.
Числова апертура: конус прийняття
Світло входить у волокно з повітря (n₀ = 1,0). Не кожен промінь, який входить на поверхню волокна, зазнаватиме повного внутрішнього відбиття на границі сердечника-оболонки. Тільки промені в межах певного конуса кутів на вході волокна будуть спрямовані.
Числова апертура (NA) вимірює половинний кут цього конуса прийняття:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
де n₁ — показник сердечника, а n₂ — показник оболонки. Це випливає з застосування закону Снеля на вхідній поверхні й подальшої вимоги, щоб заломлений промінь потрапив на границю сердечника-оболонки під точно критичним кутом.
Більша NA означає більш широкий конус прийняття: легше ввести світло, але допускаються більше режимів, що збільшує дисперсію.
Експоненціальне затухання поза сердечником
Повне внутрішнє відбиття не означає, що електромагнітне поле миттєво зникає на границі сердечника-оболонки. Поле проникає в оболонку як еванесцентна хвиля, яка експоненціально затухає з відстанню z від границі:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
де глибина проникнення d_p залежить від довжини хвилі λ, кута падіння θ та показників заломлення:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Коли θ наближується до θ_c зверху, знаменник наближається до нуля і d_p → ∞: еванесцентне поле простягається далі, оскільки кут ледве перевищує критичний кут. Глибоко в повне внутрішнє відбиття (θ >> θ_c), d_p скорочується до приблизно λ/4.
Практичне наслідок: два волокна, розташовані достатньо близько, можуть обмінюватися світлом через їхні еванесцентні поля — спрямований розв'язувач. Це забезпечує розділення потужності, мультиплексування довжин хвиль & оптичне комутування без механічних з'єднань.
Еванесцентне зв'язування
Еванесцентний розв'язувач розташовує два сердечники волокна паралельно на відстані кількох довжин хвиль один від одного. Світло тунелює з одного сердечника в інший через перекривні еванесцентні поля.
V-число та кількість режимів
Скільки режимів підтримує волокно? Одне безрозмірне число, V-число (або нормалізована частота), визначає це:
V = (π · d · NA) / λ
де d — діаметр сердечника, NA — числова апертура, а λ — довжина хвилі.
Волокно підтримує лише один режим (однорежимне) коли V < 2,405 (перший нуль функції Бесселя J₀). Декілька режимів з'являються коли V > 2,405. Кількість режимів масштабується приблизно як V²/2 для великих V.
Щоб гарантувати однорежимну роботу при λ = 1550 нм з NA = 0,12:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
Саме тому телекомунікаційне однорежимне волокно використовує діаметр сердечника ≈8–10 мкм: геометричне обмеження, встановлене вимогою V < 2,405.