界面を幾何学的変換として
スネルの法則 n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ は、光線が境界でどのように方向を変えるかを説明します。幾何学的には、単調関数を介して入射角 θ₁ を透過角 θ₂ にマッピングします。
f: [0°, 90°] → [0°, 90°] を f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁) で定義します。n₁ > n₂ の場合（光が密から疎の媒体へ移動）、f は角度を増幅します：小さな入力角はより大きな出力角になります。
臨界角 は f(θ_c) = 90° となる入力値として現れます：
sin θ_c = n₂/n₁
θ_c を超える入力角に対して、関数には実出力がありません：透過光線は消えます。入射強度全体が反射します。これは全反射です。
数値開口：受け入れコーン
光は空気 (n₀ = 1.0) からファイバーに入ります。ファイバー面に入るすべての光線が、コア-クラッド境界で全反射を受けるわけではありません。ファイバー入口での特定の角度コーン内の光線のみがガイドされます。
数値開口 (NA) は、この受け入れコーンの半角を測定します：
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
ここで n₁ はコア指数、n₂ はクラッド指数です。これは入口面でスネルの法則を適用し、屈折光線がコア-クラッド境界に正確に臨界角で当たることを要求することから導きます。
より大きな NA は、より広い受け入れコーンを意味します：光を結合しやすいですが、より多くのモードが許可され、分散が増加します。
コア外の指数減衰
全反射は、電磁場がコア-クラッド境界で瞬時に消えることを意味しません。フィールドは、界面からの距離 z で指数関数的に減衰する 消滅波 としてクラッドに浸透します：
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
ここで浸透深さ d_p は波長 λ、入射角 θ、および屈折率に依存します：
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
θ が上から θ_c に接近すると、分母はゼロに接近し d_p → ∞：角度が臨界角をわずかに超えると、消滅波フィールドはさらに広がります。全反射の深い領域では (θ >> θ_c)、d_p は大約 λ/4 に縮小します。
実用的な結果： 十分に接近して配置された 2 つのファイバーは、消滅フィールドを介して光を交換できます — 方向性カプラー。これにより、機械的接続なしでパワー分割、波長多重化、および光スイッチングが可能になります。
消滅カプリング
消滅カプラーは、相互に数波長以内で平行に 2 つのファイバーコアを配置します。光は、重なり合う消滅フィールドを介してあるコアから別のコアへトンネリングします。
V 番号とモード数
ファイバーは何個のモードをサポートしていますか？単一の無次元数である V 番号 (または正規化周波数) がこれを決定します：
V = (π · d · NA) / λ
ここで d はコア直径、NA は数値開口、λ は波長です。
ファイバーは V < 2.405 の場合、1 つのモードのみをサポートします (単一モード) (ベッセル関数 J₀ の最初のゼロ)。V > 2.405 の場合、複数のモードが表示されます。モード数は、大きな V の場合ほぼ V²/2 としてスケーリングされます。
λ = 1550 nm および NA = 0.12 で単一モード動作を保証するには：
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
これが、テレコム単一モードファイバーが ≈8～10 µm のコア直径を使用する理由です：V < 2.405 の要件によって設定された幾何学的制約。