L'Interface en tant que Transformation Géométrique
La loi de Snell n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ décrit comment un rayon change de direction à une limite. Géométriquement, elle mappe un angle d'incidence θ₁ à un angle transmis θ₂ par une fonction monotone.
Définissez f: [0°, 90°] → [0°, 90°] par f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Quand n₁ > n₂ (la lumière allant d'un milieu dense à un milieu rare), f amplifie les angles : les petits angles d'entrée deviennent des angles de sortie plus grands.
L'angle critique émerge comme la valeur d'entrée où f(θ_c) = 90° :
sin θ_c = n₂/n₁
Pour les angles d'entrée au-delà de θ_c, la fonction n'a pas de sortie réelle : le rayon transmis disparaît. Toute l'intensité incidente se réfléchit. C'est la réflexion interne totale.
Ouverture Numérique : le Cône d'Acceptance
La lumière pénètre une fibre depuis l'air (n₀ = 1.0). Tous les rayons qui entrent dans la face de la fibre ne subiront pas la réflexion interne totale à la limite noyau-gaine. Seuls les rayons dans un certain cône d'angles à l'entrée de la fibre seront guidés.
L'ouverture numérique (NA) mesure le demi-angle de ce cône d'acceptance :
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
où n₁ est l'indice du noyau et n₂ est l'indice de la gaine. Ceci résulte de l'application de la loi de Snell à la face d'entrée et de l'exigence que le rayon réfracté frappe la limite noyau-gaine exactement à l'angle critique.
Une NA plus grande signifie un cône d'acceptance plus large : plus facile de coupler la lumière, mais plus de modes autorisés, augmentant la dispersion.
La Décroissance Exponentielle en Dehors du Noyau
La réflexion interne totale ne signifie pas que le champ électromagnétique disparaît instantanément à la limite noyau-gaine. Le champ pénètre dans la gaine comme une onde évanescente qui décroît exponentiellement avec la distance z de l'interface :
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
où la profondeur de pénétration d_p dépend de la longueur d'onde λ, l'angle d'incidence θ, et les indices de réfraction :
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Quand θ s'approche de θ_c par le haut, le dénominateur s'approche de zéro et d_p → ∞ : le champ évanescent s'étend davantage quand l'angle dépasse à peine l'angle critique. Profondément dans la réflexion interne totale (θ >> θ_c), d_p se rétrécit à environ λ/4.
Conséquence pratique : deux fibres placées assez proches l'une de l'autre peuvent échanger de la lumière à travers leurs champs évanescents — un coupleur directionnel. Ceci permet le fractionnement de puissance, le multiplexage en longueur d'onde, & la commutation optique sans connexions mécaniques.
Couplage par Évanescence
Un coupleur par évanescence place deux noyaux de fibre parallèlement à quelques longueurs d'onde l'un de l'autre. La lumière se propage d'un noyau à l'autre à travers les champs évanescents qui se chevauchent.
Le Nombre V et le Décompte des Modes
Combien de modes une fibre supporte-t-elle ? Un seul nombre sans dimension, le nombre V (ou fréquence normalisée), détermine ceci :
V = (π · d · NA) / λ
où d est le diamètre du noyau, NA est l'ouverture numérique, et λ est la longueur d'onde.
Une fibre ne supporte qu'un seul mode (monomode) quand V < 2.405 (le premier zéro de la fonction de Bessel J₀). Plusieurs modes apparaissent quand V > 2.405. Le décompte des modes évolue environ comme V²/2 pour les grands V.
Pour garantir le fonctionnement monomode à λ = 1550 nm avec NA = 0.12 :
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
C'est pourquoi la fibre monomode de télécommunication utilise un diamètre de noyau d'environ 8–10 µm : une contrainte géométrique définie par l'exigence V < 2.405.