界面作为几何变换
斯涅尔定律 n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ 描述光线在边界处如何改变方向。从几何上讲，它通过单调函数将入射角 θ₁ 映射到透射角 θ₂。
定义 f: [0°, 90°] → [0°, 90°]，其中 f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁)。当 n₁ > n₂ 时（光从密集介质进入稀薄介质），f 放大角度：小的输入角变成更大的输出角。
临界角作为输入值出现，其中 f(θ_c) = 90°：
sin θ_c = n₂/n₁
对于超过 θ_c 的输入角，该函数没有实数输出：透射光线消失。所有入射强度都被反射。这被称为全内反射。
数值孔径：接纳圆锥
光从空气（n₀ = 1.0）进入光纤。并非进入光纤端面的每条射线都会在纤芯-包层边界处发生全内反射。只有在光纤入口处角度在一定圆锥范围内的光线才会被引导。
数值孔径（NA）测量此接纳圆锥的半角：
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
其中 n₁ 是纤芯折射率，n₂ 是包层折射率。这来自在入口面应用斯涅尔定律，然后要求折射射线在纤芯-包层边界处恰好以临界角相交。
更大的 NA 意味着更宽的接纳圆锥：更容易耦合光，但允许更多模式，增加色散。
超出纤芯外的指数衰减
全内反射并不意味着电磁场在纤芯-包层边界处立即消失。该场以倏逝波形式渗透到包层中，并按照以下距离 z 从界面处指数衰减：
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
其中穿透深度 d_p 取决于波长 λ、入射角 θ 和折射率：
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
当 θ 从上方接近 θ_c 时，分母接近零，d_p → ∞：倏逝场随着角度仅略超过临界角而延伸得更远。在全内反射深处（θ >> θ_c），d_p 缩小到大约 λ/4。
实际应用：两根光纤相距足够近可以通过倏逝场相互交换光——方向耦合器。这使得功率分裂、波长复用及光学开关无需机械连接。
倏逝耦合
倏逝耦合器将两个光纤纤芯并排放置，相距在几个波长内。光通过重叠的倏逝场从一个纤芯隧穿到另一个。
V 值和模式计数
光纤支持多少种模式？一个单一的无量纲数字——V 值（或归一化频率）——决定了这一点：
V = (π · d · NA) / λ
其中 d 是纤芯直径，NA 是数值孔径，λ 是波长。
当 V < 2.405（贝塞尔函数 J₀ 的第一个零点）时，光纤只支持一个模式（单模）。当 V > 2.405 时出现多个模式。对于较大的 V，模式计数大约缩放为 V²/2。
要在 λ = 1550 nm 和 NA = 0.12 时保证单模操作：
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
这就是为什么电信单模光纤使用约 8–10 µm 的纤芯直径：一个由 V < 2.405 要求设定的几何约束。