Граница раздела как геометрическое преобразование
Закон Снеллиуса n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ описывает, как луч изменяет направление на границе раздела. Геометрически он отображает угол падения θ₁ на угол прохождения θ₂ через монотонную функцию.
Определим f: [0°, 90°] → [0°, 90°] как f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Когда n₁ > n₂ (свет идёт из плотной среды в разреженную), f усиливает углы: малые входные углы становятся большими выходными углами.
Критический угол появляется как входное значение, при котором f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Для углов, превышающих θ_c, функция не имеет вещественного выхода: пропущенный луч исчезает. Вся интенсивность падающего луча отражается. Это полное внутреннее отражение.
Числовая апертура: конус приёма
Свет входит в волокно из воздуха (n₀ = 1,0). Не каждый луч, входящий на конец волокна, будет испытывать полное внутреннее отражение на границе ядро-оболочка. Только лучи в определённом конусе углов на входе волокна будут направляться.
Числовая апертура (NA) измеряет полуугол этого конуса приёма:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
где n₁ — показатель преломления ядра, а n₂ — показатель преломления оболочки. Это следует из применения закона Снеллиуса на входной поверхности и требования, чтобы преломлённый луч попадал на границу ядро-оболочка ровно под критическим углом.
Большая NA означает более широкий конус приёма: проще ввести свет, но разрешено больше мод, что увеличивает дисперсию.
Экспоненциальное затухание вне ядра
Полное внутреннее отражение не означает, что электромагнитное поле мгновенно исчезает на границе ядро-оболочка. Поле проникает в оболочку как эванесцентная волна, которая экспоненциально затухает с расстоянием z от границы:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
где глубина проникновения d_p зависит от длины волны λ, угла падения θ и показателей преломления:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Когда θ приближается к θ_c сверху, знаменатель приближается к нулю и d_p → ∞: эванесцентное поле расширяется, когда угол едва превышает критический. Глубоко в полном внутреннем отражении (θ >> θ_c) d_p сжимается примерно до λ/4.
Практическое следствие: два волокна, размещённые достаточно близко друг к другу, могут обмениваться светом через свои эванесцентные поля — направленный ответвитель. Это позволяет разделять мощность, мультиплексировать длины волн & оптически коммутировать без механических соединений.
Эванесцентная связь
Эванесцентный ответвитель размещает два ядра волокна параллельно в пределах нескольких длин волн друг от друга. Свет туннелирует от одного ядра к другому через перекрывающиеся эванесцентные поля.
V-число и количество мод
Сколько мод поддерживает волокно? Одно безразмерное число, V-число (или нормализованная частота), это определяет:
V = (π · d · NA) / λ
где d — диаметр ядра, NA — числовая апертура, λ — длина волны.
Волокно поддерживает только одну моду (одномодовое) при V < 2,405 (первый нуль функции Бесселя J₀). Несколько мод появляются при V > 2,405. Количество мод масштабируется примерно как V²/2 для больших V.
Чтобы гарантировать одномодовую работу при λ = 1550 нм с NA = 0,12:
V < 2,405 → d < (2,405 · λ) / (π · NA) = (2,405 × 1550 нм) / (π × 0,12) ≈ 9,9 мкм
Вот почему одномодовое телекоммуникационное волокно использует диаметр ядра ≈8–10 мкм: геометрическое ограничение, установленное требованием V < 2,405.