A Interface como uma Transformação Geométrica
A lei de Snell n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂ descreve como um raio muda de direção em uma fronteira. Geometricamente, ela mapeia um ângulo de incidência θ₁ para um ângulo transmitido θ₂ por meio de uma função monótona.
Defina f: [0°, 90°] → [0°, 90°] por f(θ₁) = arcsen((n₁/n₂) sen θ₁). Quando n₁ > n₂ (luz indo de um meio denso para um meio raro), f amplifica ângulos: pequenos ângulos de entrada se tornam maiores ângulos de saída.
O ângulo crítico emerge como o valor de entrada onde f(θ_c) = 90°:
sen θ_c = n₂/n₁
Para ângulos de entrada além de θ_c, a função não tem saída real: o raio transmitido desaparece. Toda a intensidade incidente se reflete. Esta é a reflexão interna total.
Abertura Numérica: o Cone de Aceitação
A luz entra em uma fibra vindo do ar (n₀ = 1.0). Nem todo raio que entra na face da fibra sofrerá reflexão interna total na fronteira núcleo-revestimento. Apenas raios dentro de um certo cone de ângulos na entrada da fibra serão guiados.
A abertura numérica (NA) mede o semi-ângulo deste cone de aceitação:
NA = n₀ sen(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
onde n₁ é o índice do núcleo e n₂ é o índice do revestimento. Isto decorre da aplicação da lei de Snell na face de entrada e então exigir que o raio refratado atinja a fronteira núcleo-revestimento exatamente no ângulo crítico.
Uma NA maior significa um cone de aceitação mais amplo: mais fácil acoplar luz, mas mais modos permitidos, aumentando a dispersão.
O Decaimento Exponencial Fora do Núcleo
A reflexão interna total não significa que o campo eletromagnético desaparece instantaneamente na fronteira núcleo-revestimento. O campo penetra no revestimento como uma onda evanescente que decai exponencialmente com a distância z da interface:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
onde a profundidade de penetração d_p depende do comprimento de onda λ, do ângulo de incidência θ, e dos índices de refração:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Conforme θ se aproxima de θ_c por cima, o denominador se aproxima de zero e d_p → ∞: o campo evanescente se estende mais à medida que o ângulo mal excede o ângulo crítico. Profundamente na reflexão interna total (θ >> θ_c), d_p encolhe para aproximadamente λ/4.
Consequência prática: duas fibras colocadas próximas o suficiente podem trocar luz através de seus campos evanescentes — um acoplador direcional. Isto permite divisão de potência, multiplexação de comprimento de onda, & comutação óptica sem conexões mecânicas.
Acoplamento Evanescente
Um acoplador evanescente coloca dois núcleos de fibra paralelos dentro de alguns comprimentos de onda um do outro. A luz faz túnel de um núcleo para o outro através dos campos evanescentes sobrepostos.
O V-Número e Contagem de Modos
Quantos modos uma fibra suporta? Um único número adimensional, o V-número (ou frequência normalizada), determina isto:
V = (π · d · NA) / λ
onde d é o diâmetro do núcleo, NA é a abertura numérica, e λ é o comprimento de onda.
Uma fibra suporta apenas um modo (monomodo) quando V < 2.405 (o primeiro zero da função de Bessel J₀). Múltiplos modos aparecem quando V > 2.405. A contagem de modos é escalada aproximadamente como V²/2 para V grande.
Para garantir operação monomodo em λ = 1550 nm com NA = 0.12:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
É por isso que a fibra monomodo de telecomunicações usa um diâmetro de núcleo de ≈8–10 µm: uma restrição geométrica estabelecida pelo requisito V < 2.405.