Het grensoppervlak als geometrische transformatie
De wet van Snell n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ beschrijft hoe een lichtstraal van richting verandert aan een grensoppervlak. Geometrisch gezegd wijst zij een invalshoek θ₁ toe aan een transmissiehoek θ₂ via een monotone functie.
Definieer f: [0°, 90°] → [0°, 90°] door f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Wanneer n₁ > n₂ (licht gaat van dicht naar dun medium), vergroot f hoeken: kleine invoerhoeken worden grotere uitvoerhoeken.
De kritieke hoek ontstaat als invoerwaarde waar f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Voor invoerhoeken voorbij θ_c heeft de functie geen reële uitvoer: de uitgaande straal verdwijnt. De gehele invallende intensiteit wordt gereflecteerd. Dit is totale interne reflectie.
Numerieke apertuut: de acceptatiekegel
Licht treedt in een vezel in vanuit lucht (n₀ = 1.0). Niet elke straal die het vezelvlak binnentreedt, ondergaat totale interne reflectie op de grens tussen kern en mantel. Alleen stralen binnen een bepaalde hoekenkegel op de vezeleintrede zullen voortplanten.
De numerieke apertuut (NA) meet de halve hoek van deze acceptatiekegel:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
waarbij n₁ de brekingsindex van de kern is en n₂ de brekingsindex van de mantel. Dit volgt uit het toepassen van de wet van Snell op het ingangsoppervlak en vervolgens de eis dat de gebroken straal de kern-mantelgrens raakt op precies de kritieke hoek.
Een grotere NA betekent een bredere acceptatiekegel: gemakkelijker om licht in te koppelen, maar meer modi toegestaan, wat dispersie vergroot.
Exponentiële afname buiten de kern
Totale interne reflectie betekent niet dat het elektromagnetische veld onmiddellijk op de kern-mantelgrens verdwijnt. Het veld dringt in de mantel als een uitdovende golf die exponentieel afneemt met afstand z vanuit het grensoppervlak:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
waarbij de penetratietiepte d_p afhangt van golflengte λ, de invalshoek θ, & de brekingsindices:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Wanneer θ θ_c van boven benadert, nadert de noemer nul & d_p → ∞: het uitdovende veld strekt zich verder uit naarmate de hoek nauwelijks de kritieke hoek overschrijdt. Diep in totale interne reflectie (θ >> θ_c), krimpt d_p tot ongeveer λ/4.
Praktisch gevolg: twee vezels die dicht genoeg bij elkaar worden geplaatst, kunnen licht uitwisselen via hun uitdovende velden — een richtingskoppelaar. Dit maakt vermogensverdeling, golflengtemultiplexing, & optisch schakelen zonder mechanische verbindingen mogelijk.
Uitdovende koppeling
Een uitdovende koppelaar plaatst twee vezelkernen parallel op enkele golflengten van elkaar. Licht tunnel van de ene kern naar de andere via de overlappende uitdovende velden.
Het V-getal en modusaantal
Hoeveel modi ondersteunt een vezel? Een enkel dimensieloos getal, het V-getal (of genormaliseerde frequentie), bepaalt dit:
V = (π · d · NA) / λ
waarbij d de kerndiameter is, NA de numerieke apertuut is, & λ de golflengte is.
Een vezel ondersteunt slechts één modus (eenmodige) wanneer V < 2.405 (de eerste nul van de Besselfunctie J₀). Meerdere modi verschijnen wanneer V > 2.405. Het modusaantal schalt ongeveer als V²/2 voor grote V.
Om eenmodige werking te garanderen bij λ = 1550 nm met NA = 0.12:
V < 2.405 → d < (2.405 · λ) / (π · NA) = (2.405 × 1550 nm) / (π × 0.12) ≈ 9.9 µm
Dit is waarom telecom eenmodige vezel een kerndiameter van ≈8–10 µm gebruikt: een geometrische beperking ingesteld door de eis V < 2.405.