L'interfaccia come trasformazione geometrica
La legge di Snell n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ descrive come un raggio cambia direzione su un confine. Geometricamente, mappa un angolo di incidenza θ₁ a un angolo trasmesso θ₂ attraverso una funzione monotona.
Definiamo f: [0°, 90°] → [0°, 90°] con f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). Quando n₁ > n₂ (luce che va da un mezzo denso a uno rado), f amplifica gli angoli: piccoli angoli di ingresso diventano angoli di uscita più grandi.
L'angolo critico emerge come valore di ingresso dove f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
Per angoli di ingresso oltre θ_c, la funzione non ha output reale: il raggio trasmesso scompare. L'intera intensità incidente si riflette. Questa è la riflessione interna totale.
Apertura numerica: il cono di accettazione
La luce entra in una fibra dall'aria (n₀ = 1,0). Non ogni raggio che entra sulla faccia della fibra subirà riflessione interna totale al confine nucleo-mantello. Solo i raggi entro un certo cono di angoli all'ingresso della fibra saranno guidati.
L'apertura numerica (NA) misura il semiangolo di questo cono di accettazione:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
dove n₁ è l'indice del nucleo e n₂ è l'indice del mantello. Questo segue dall'applicazione della legge di Snell sulla faccia di ingresso e dal richiedere che il raggio rifratto colpisca il confine nucleo-mantello esattamente all'angolo critico.
Un'apertura numerica più grande significa un cono di accettazione più ampio: più facile accoppiare la luce, ma più modi consentiti, aumentando la dispersione.
Il decadimento esponenziale al di fuori del nucleo
La riflessione interna totale non significa che il campo elettromagnetico scompaia istantaneamente al confine nucleo-mantello. Il campo penetra nel mantello come un'onda evanescente che decade esponenzialmente con la distanza z dall'interfaccia:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
dove la profondità di penetrazione d_p dipende dalla lunghezza d'onda λ, dall'angolo di incidenza θ, e dagli indici di rifrazione:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
Quando θ si avvicina a θ_c da sopra, il denominatore si avvicina a zero e d_p → ∞: il campo evanescente si estende ulteriormente quando l'angolo appena supera l'angolo critico. Nel profondo della riflessione interna totale (θ >> θ_c), d_p si riduce a circa λ/4.
Conseguenza pratica: due fibre posizionate abbastanza vicine possono scambiarsi luce attraverso i loro campi evanescenti — un accoppiatore direzionale. Questo consente la divisione della potenza, il multiplexing in lunghezza d'onda, & la commutazione ottica senza connessioni meccaniche.
Accoppiamento evanescente
Un accoppiatore evanescente posiziona due nuclei di fibra paralleli a poche lunghezze d'onda di distanza uno dall'altro. La luce si propaga tramite tunneling da un nucleo all'altro attraverso i campi evanescenti sovrapposti.
Il numero V e il conteggio dei modi
Quanti modi supporta una fibra? Un singolo numero adimensionale, il numero V (o frequenza normalizzata), determina questo:
V = (π · d · NA) / λ
dove d è il diametro del nucleo, NA è l'apertura numerica, e λ è la lunghezza d'onda.
Una fibra supporta solo un modo (monomodale) quando V < 2,405 (il primo zero della funzione di Bessel J₀). I modi multipli compaiono quando V > 2,405. Il conteggio dei modi scala approssimativamente come V²/2 per grandi V.
Per garantire il funzionamento monomodale a λ = 1550 nm con NA = 0,12:
V < 2,405 → d < (2,405 · λ) / (π · NA) = (2,405 × 1550 nm) / (π × 0,12) ≈ 9,9 µm
Ecco perché la fibra monomodale per telecomunicazioni utilizza un diametro del nucleo di ≈8–10 µm: un vincolo geometrico impostato dal requisito V < 2,405.