Gränssnittet som en geometrisk transformation
Snells lag n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ beskriver hur en stråle ändrar riktning vid ett gränssnitt. Geometriskt mappar den en infallsvinkel θ₁ till en överförd vinkel θ₂ via en monoton funktion.
Definiera f: [0°, 90°] → [0°, 90°] genom f(θ₁) = arcsin((n₁/n₂) sin θ₁). När n₁ > n₂ (ljus går från tätt till glest medium) förstärker f vinklarna: små inmatningsvinklar blir större utmatningsvinklar.
Den kritiska vinkeln framträder som inmatningsvärdet där f(θ_c) = 90°:
sin θ_c = n₂/n₁
För inmatningsvinklar bortom θ_c har funktionen ingen verklig utmatning: den överförda strålen försvinner. Hela den infallande intensiteten reflekteras. Detta är totalintern reflektion.
Numerisk apertur: acceptanskegeln
Ljus kommer in i en fiber från luft (n₀ = 1,0). Inte varje stråle som kommer in i fiberkanten kommer att genomgå totalintern reflektion vid gränssnittet mellan kärnor och hölje. Endast strålar inom en viss vinkelkegel vid fiberkantningen kommer att ledas.
Den numeriska aperturen (NA) mäter halvvinkeln för denna acceptanskegel:
NA = n₀ sin(θ_max) = √(n₁² − n₂²)
där n₁ är kärnans brekningsindex och n₂ är höljets brekningsindex. Detta följer av att tillämpa Snells lag vid inträdeskanten och sedan kräva att den brutna strålen träffar kärna-hölje-gränssnittet vid exakt den kritiska vinkeln.
En större NA betyder en bredare acceptanskegel: lättare att koppla in ljus, men fler lägen tillåtna, vilket ökar dispersionen.
Den exponentiella dämpningen utanför kärnan
Totalintern reflektion betyder inte att det elektromagnetiska fältet försvinner direkt vid kärna-hölje-gränssnittet. Fältet penetrerar i höljen som en evanescent-våg som dämpar exponentiellt med avstånd z från gränssnittet:
E(z) = E₀ · e^(−z/d_p)
där penetrationsdjupet d_p beror på våglängden λ, infallsvinkeln θ, och brekningsindexen:
d_p = λ / (4π √(n₁² sin²θ − n₂²))
När θ närmar sig θ_c från ovan närmar sig nämnaren noll och d_p → ∞: evanescent-fältet sträcker sig längre då vinkeln knappt överskrider den kritiska vinkeln. Långt in i totalintern reflektion (θ >> θ_c), d_p krymper till ungefär λ/4.
Praktisk konsekvens: två fibrer placerade tillräckligt nära varandra kan utbyta ljus genom sina evanescent-fält — en riktningskopplare. Detta möjliggör effektdelning, våglängdsmultiplexing, & optisk växling utan mekaniska kopplingar.
Evanescent-koppling
En evanescent-kopplare placerar två fiberkärnor parallellt inom några våglängders avstånd från varandra. Ljus överförs från en kärnor till den andra genom överlappande evanescent-fält.
V-numret och modantalet
Hur många lägen stöder en fiber? Ett enda dimensionslöst tal, V-numret (eller normaliserad frekvens), bestämmer detta:
V = (π · d · NA) / λ
där d är kärndiametern, NA är den numeriska aperturen, och λ är våglängden.
En fiber stöder endast ett läge (single-mode) när V < 2,405 (den första nollan för Bessel-funktionen J₀). Flera lägen visas när V > 2,405. Modantalet skalas ungefär som V²/2 för stora V.
För att garantera single-mode-drift vid λ = 1550 nm med NA = 0,12:
V < 2,405 → d < (2,405 · λ) / (π · NA) = (2,405 × 1550 nm) / (π × 0,12) ≈ 9,9 µm
Det är därför telecom single-mode-fiber har en kärndiameter på cirka 8–10 µm: en geometrisk begränsning satt av kravet V < 2,405.