구멍이 어디에 가는지, 그리고 왜 위쪽에 몰려 있는지

첫 번째 열린 구멍이 새로운 끝입니다

1절에서: 리코더의 음높이는 마우스피스에서 첫 번째 열린 구멍까지의 거리(위에서 아래로)에 의해 결정됩니다. 따라서 구멍을 어디에 뚫을지의 전체 문제는 음높이를 스케일로 한 음 한 음 올리도록 '새로운 끝'들의 순서를 배치하는 문제입니다.

간격은 등차수열이 아니라 기하수열입니다. 대략 평등한 성법 스케일에서 각 반음은 주파수 비율 2^(1/12), 약 1.0595입니다. f는 대략 v / (2L)이므로, 음높이를 한 비율 단계 올리려면 유효 길이를 역비율만큼 줄여야 합니다: L_new는 대략 L_old x 2^(-1/12), 약 0.944 x L_old입니다. 각 단계 위로 올라갈 때 남은 길이의 약 5.6퍼센트를 깎아냅니다. 따라서 마우스피스를 향해 이동할수록 구멍들이 점점 더 가까워집니다: 위쪽 구멍들이 몰려 있습니다. 그 몰림은 조잡한 드릴링이 아닙니다; 그것은 곱셈 스케일의 기하학이 곱셈 간격을 강제하는 것입니다.

실제 구멍은 전체 구멍이 아니다. 손가락 구멍은 튜브의 직경보다 작아서 완벽한 '새 끝'이 되지 않습니다: 구멍 아래 튜브를 여전히 느끼는 공기가 일부 남아 있습니다. 그 효과는 열린 구멍이 파이프가 구멍 지나쳐서 조금 더 끝나는 것처럼 작용한다는 것입니다. 그 양은 구멍의 크기와 벽 두께에 따라 다르며(키악기에서 열린 구멍 격자의 'cutoff frequency'가 있습니다). 제작자들은 구멍을 확대하고, 가장자리를 언더컷하며, 보어 프로파일을 미세 조정하여 보상합니다: 발표된 구멍 위치는 이러한 수정 후의 기하학입니다.

크로스 핑거링은 의도적인 길이 조정이다. 기본 핑거링은 디아토닉 스케일을 줍니다: 7음. 크로매틱 음(F 샵 대 F 내추럴, B 플랫 등)을 얻기 위해 크로스 핑거링을 합니다: 한 구멍을 열지만 그 아래 구멍을 덮습니다. 그 덮인 하류 구멍은 효과적인 길이를 일부 추가하고 임피던스를 높여서, 노트가 맨 핑거링보다 조금 낮게 나옵니다: F 샵을 F 내추럴로 떨어뜨리거나 필요한 곳으로 정확히. 크로스 핑거링은 연주자가 손으로 효과적인 길이를 편집하는 것입니다. 왜냐하면 10개의 손가락 아래에 12개의 균등한 구멍을 맞추기 어렵기 때문입니다.

구멍 배치

간단한 리코더가 모든 구멍을 덮었을 때 효과적인 공기 기둥 길이가 33 cm라고 가정합니다(최저 음). 2^(1/12)은 약 1.0595이므로, 반음 올라갈 때 효과적인 길이를 약 0.944배로 곱합니다.

양단 개방 튜브, 폐쇄 실린더, 폐쇄 원뿔

두 번째 레지스터는 조화급수이며, 보어는 어떤 고조파가 존재하는지 선택합니다

리코더를 조금 더 세게 불거나 (더 나은 방법으로) 뒷쪽 엄지 구멍을 약간 열어보세요. 그러면 공기 기둥이 더 높은 모드로 점프합니다: 튜브의 조화급수의 더 높은 구성원입니다. 어떤 더 높은 모드가 사용 가능하며, 따라서 상부 레지스터가 하부와 어떻게 관련되는지는 전적으로 보어의 모양에 의해 결정됩니다: 리드 끝이 개방인지 폐쇄인지, 그리고 원통형인지 원추형인지 여부입니다.

양단 개방 (리코더, 플루트). 양단이 개방된 튜브는 모든 고조파를 지원합니다: 1, 2, 3, 4 등. 두 번째 고조파는 기본 주파수의 두 배로, 옥타브입니다. 그래서 리코더나 플루트는 옥타브로 오버블로우합니다: 상부 레지스터는 하부 레지스터의 핑거링을 옥타브 위로 이동시켜 반복합니다. 이것이 리코더의 고음이 대부분 엄지 벤트가 열린 저음 핑거링인 이유입니다. 간단하고 규칙적입니다.

갈대 끝이 막힌 원통형 (클라리넷). 클라리넷의 마우스피스 끝은 실질적으로 막힌 끝(갈대가 밀봉하기 때문)이며, 그 보어는 원통입니다. 한쪽 끝이 막히고 다른 쪽 끝이 열린 원통은 홀수 고조파만 지지합니다: 1, 3, 5, 7. 가장 낮은 가능한 점프는 3차 고조파로, 기본 주파수의 세 배이며, 이는 옥타브 플러스 5도: 12도입니다. 따라서 클라리넷은 옥타브가 아니라 12도로 오버블로우합니다. 결과: 클라리넷의 상위 레지스터 핑거링은 하위 레지스터와 크게 다르며 (유명한 '브레이크'를 건너야 함), 단일 튜브로서는 비정상적으로 넓은 음역을 가지며 (기본 핑거링으로 누락된 옥타브-12도 간격을 채워야 하므로), 음색은 짝수 고조파가 약해 홀수 고조파만으로 인해 독특한 '공허한' 클라리넷 소리가 납니다.

꼭짓점이 막힌 원추형 (오보에, 바순, 색소폰). 여기서 직관에 반하는 부분입니다. 색소폰은 단일 갈대를 사용하므로 마우스피스 끝이 클라리넷처럼 '막힌' 상태입니다: 홀수 고조파만 기대할 수 있습니다. 하지만 색소폰의 보어는 원추형이며, 꼭짓점이 막힌 완전한 원추는 정상파에 대해 양쪽 끝이 열린 파이프처럼 작동합니다: 모든 고조파를 지지합니다. 따라서 색소폰(그리고 오보에, 바순)은 갈대 끝이 막혀 있음에도 플루트처럼 옥타브로 오버블로우합니다: 원추형 보어가 막힌 끝을 '수정'합니다. 이것이 원추형 보어 목관악기가 클라리넷보다 더 밝고 풍부한 음색을 가지는 이유이기도 합니다: 짝수 고조파가 존재하기 때문입니다. 보어 모양, 순수한 기하학의 한 조각이 레지스터 관계와 음색의 큰 부분을 결정합니다.

이것이 온램프에 중요한 이유. 리코더 연주자가 플루트로 이동할 때 가장 깨끗한 일치를 찾는 이유는 둘 다 양쪽 끝이 열린 튜브로 옥타브로 오버블로우하기 때문입니다: 상위 레지스터 핑거링은 리코더에서처럼 하위 레지스터를 반영합니다. 색소폰으로 이동하는 것도 옥타브 오버블로우이므로 거의同样 깨끗합니다. 클라리넷으로 이동하면 처음으로 12도와 브레이크를 만나게 됩니다: 여전히 매우 배울 수 있지만, 연주자는 이미 '레지스터 변경이 새로운 핑거링 세트를 의미한다'는 느낌을 알기 때문에, 하지만 보어 기하학이 진정으로 다르며, 이제 그 이유를 알게 됩니다.

옥타브인가 12도인가?

클라리넷, 플루트, 색소폰이 밴드 연습실에 들어갑니다.

비율, 비트, 코마, 그리고 2의 12제곱근

간격은 비율입니다

두 음이 단순 비율로 주파수가 있을 때 합chord하게 들리는 이유는, 그때 그들의 상음렬이 크게 겹치고 '비트'(두 가까운 주파수가 간섭할 때 들리는 느린 맥동)가 적기 때문입니다. 고전적인 비율: 옥타브는 2:1, 완전5도는 3:2, 완전4도는 4:3, 장3도는 5:4. 비율이 간단할수록 고조파가 더 잘 맞물리고 소리가 부드러워집니다. 비트 주파수 = 두 주파수의 절댓값 차이: 440 Hz와 442 Hz의 두 현은 초당 두 번 비트하고, 튜너는 그 간격을 좁혀 비트를 없앱니다. 귀 조율은 비트를 최소화하는 것입니다.

피타고라스 코마: 순수 5도는 원을 완성하지 못한다

완벽한 5도를 12개 쌓으면 원칙적으로 시작한 음으로 돌아와야 한다. 12개의 5도와 7옥타브 후에. 하지만 (3/2)^12는 약 129.746이고, 2^7 = 128이다. 이 둘은 일치하지 않는다: 12개의 순수 5도는 7옥타브를 약 1.0136 비율로 초과하며, 이는 대략 23.5 cents (반음의 약 1/4)이다. 이 간격이 피타고라스 코마이다. 이는 순수 3:2 5도로 키보드 전체를 튜닝할 수 없음을 의미한다: 어딘가에서 5도가 틀어지거나, 모든 곳에서 타협해야 한다.

평균율: 12개의 기하학적으로 동일한 단계

현대의 타협: 옥타브를 12개의 기하학적으로 동일한 단계로 나눈다. 각 단계의 주파수 비율은 2^(1/12) ≈ 1.05946이다. 이제 모든 반음이 동일한 비율이고, 모든 키가 동일하게 들리며, 어디든 변조할 수 있다. 대가: 모든 5도가 순수 702 cents 대신 700 cents (조금 평평한 5도, 거의 들리지 않음)이고, 모든 장3화음이 순수 386 cents 대신 400 cents: 이는 14 cents 날카로움으로, 좋은 귀가 들을 수 있고, 평균율 3화음이 희미한 불안한 반짝임을 내는 이유이다. Cents는 간격을 로그로 측정: cents = 1200 x log2(f2/f1), 그래서 옥타브는 1200 cents이고 각 평균율 반음은 정확히 100 cents이다.

5도 원이 원인 이유

평균율에서 5도는 정확히 700 cents이고, 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: 12개의 평균율 5도는 정확히 7옥타브와 같다. 그래서 5도로 올라가면 C, G, D, A, E, B, F sharp, C sharp, G sharp, D sharp, A sharp, F, 그리고 다시 C로, 12단계 후에 정확히 시작점으로 돌아온다. 피타고라스 코마가 흡수되었다: 순수 5도의 나선이 닫힌 루프로 구부러졌다. 그래서 이 다이어그램이 12개의 점으로 된 원으로 그려진다. 각 5도당 하나씩, 감싸며. (음높이를 나선으로도 상상할 수 있다: 12개의 음높이 클래스가 원 위에, 옥타브 높이가 수직 축에, 그래서 같은 음이름이 직선으로 쌓인다.)

리코더가 살아가는 것

리코더는 본질적으로 고정되어 있다: 머리 조인트를 당겨 전체 악기를 튜닝할 수 있고, 크로스 핑거링과 부드러운 공기 속도 변화로 개별 음을 약간 조정할 수 있지만, 현악 4중주나 아카펠라 합창처럼 구절 중 화음을 재튜닝할 수 없다. 그래서 리코더는 피아노처럼 평균율의 타협 속에 산다: 3화음은 약간 날카롭고, 5도는 약간 평평하며, 일관되기 때문에 괜찮다. 리코더 앙상블은 세심한 핑거링 선택과 듣기로 순수 간격으로 조정할 수 있지만, 악기는 2의 12제곱근을 중심으로 만들어진다: 모든 키에서 약간의 순수함을 자유롭게 모든 키에서 연주할 수 있는 대가로 바꾼다.

원을 닫기

옥타브당 1200센트와 cents = 1200 x log2(ratio)를 사용하세요.

목관악기 기하학: 요약

배운 내용

관악기의 거의 모든 것은 기하학입니다:

- 길이가 피치를 결정합니다. 양단이 열린 파이프의 경우, f는 대략 v / (2L)입니다. 33cm 공기 기둥은 약 C5 소리를 내고; 길이를 반으로 줄이면 주파수가 두 배가 되어 옥타브가 됩니다. 모든 핑거링은 길이이며, 음구는 대략 새로운 열린 끝으로 작용하므로, 발음 피치는 마우스피스에서 첫 번째 열린 구멍까지의 거리입니다. 이것이 상단 구멍이 하단 구멍보다 피치를 훨씬 더 많이 바꾸는 이유입니다.

- 구멍 배치는 기하 수열입니다. 각 균등변법 반음은 2^(1/12)의 주파수 비율이므로, 각 단계는 효과적인 길이에서 고정 비율(약 5.6%)을 깎아냅니다: 구멍들이 상단으로 몰려듭니다. 실제 구멍은 완전한 통구가 아니므로, 제작자들은 구멍 크기와 언더컷으로 보정하고, 연주자들은 크로스 핑거링으로 크로매틱 음을 내어 효과적인 길이를 손으로 조정합니다. 왜냐하면 10개의 손가락 아래에 12개의 구멍을 맞추기 어렵기 때문입니다.

- 통로 모양이 레지스터를 결정합니다. 열린 관(리코더, 플루트)은 모든 고조파를 지지하고 옥타브로 오버블로우합니다. 리드 끝이 막힌 실린더(클라리넷)는 홀수 고조파만 지지하고 12도로 오버블로우하여 '브레이크'를 만들고, 한 튜브로 넓은 범위를 가지며 속이 빈 음색을 냅니다. 꼭지점에서 막힌 원뿔(색소폰, 오보에, 바순)은 열린 관처럼 작용하여 모든 고조파를 지지하고 리드 끝이 막혔음에도 옥타브로 오버블로우하며 더 밝은 음색을 냅니다. 플루트는 리코더와 둘 다 옥타브 오버블로우 열린 관이기 때문에 리코더에서 가장 깨끗한 첫 단계입니다.

- 피치 자체는 비율의 격자입니다. 옥타브 2:1, 5도 3:2, 4도 4:3, 장3도 5:4: 간단한 비율은 상과음과 겹치고 비트(두 주파수의 차이)를 최소화합니다. 12개의 순수 5도는 7옥타브를 피타고라스 코마(약 23.5 센트)만큼 초과하므로, 균등변법은 옥타브를 2^(1/12)의 12개의 기하학적으로 같은 단계로 나눕니다: 모든 5도는 700 센트(2플랫), 모든 3도는 400 센트(14샤프), 이제 12개의 5도가 정확히 7옥타브와 같아 순수 5도의 끝없는 나선이 닫힌 5도 순환으로 구부러집니다. 리코더나 피아노처럼 그 타협 속에 살지만; 연속 피치를 가진 합창단이나 현악 4중주는 순수 비율 쪽으로 기울일 수 있습니다.

리코더는 자, 기하급수로 간격이 배치된 일렬의 구멍들, 자신이 소유할 고조파를 선택하는 모양의 관, 그리고 700센트 격자로 원형으로 닫히는 음악의 구조에 참여하는 악기입니다. 아이에게 그 악기를 건네주면, 'Hot Cross Buns'를 연주할 수 있는 음향학 연구실과 플루트, 클라리넷, 색소폰, 그리고 음악의 전체 기하학을 여는 열쇠를 건네준 것입니다.