Un Tube d'Air, Vibrant
La Hauteur Réside dans la Longueur
Une flûte à bec est un tube d'air. Soufflez sur le bord du bec et vous mettez en vibration la colonne d'air entière à la fréquence qui convient au tube. Pour un tuyau ouvert aux deux extrémités (la flûte à bec, la flûte se comportent ainsi), le mode le plus bas est une onde stationnaire avec un antinœud à chaque extrémité et un nœud au milieu : cela prend une demi-longueur d'onde pour traverser le tube, donc la longueur d'onde du fondamental est environ deux fois la longueur effective du tube : lambda est approximativement 2L.
La hauteur résulte de l'équation d'onde : f = v / lambda, où v est la vitesse du son dans l'air, environ 343 m/s à température ambiante. Donc f est approximativement v / (2L) : un tube plus long signifie une longueur d'onde plus longue signifie une hauteur plus basse. Divisez la longueur par deux et vous doublez la fréquence : c'est exactement une octave, ce qui explique pourquoi une flûte à bec alto, construite plus longue, se situe un quart ou environ en dessous de la soprano.
Une vérification de cohérence. Le tube sonnant d'une flûte à bec soprano mesure environ 0,32 à 0,33 m. Alors f est approximativement 343 / (2 x 0,33) soit approximativement 520 Hz, et C5 (la note la plus grave nominale de la flûte à bec, notée C) se situe à environ 523 Hz. La géométrie prédit l'instrument.
Fin de la correction. L'air ne s'arrête pas exactement à l'ouverture physique : il déborde un peu, donc la longueur effective est légèrement plus longue que le tube que vous pouvez mesurer (environ 0,6 fois le rayon du diamètre à chaque extrémité ouverte). Les fabricants d'instruments en tiennent compte ; pour nos besoins, la 'longueur effective' est celle qui compte, et elle est un peu plus grande que ce que dit la règle.
Couvrir et découvrir les trous change la longueur. Couvrez tous les trous et la colonne d'air parcourt toute la longueur du tube : note la plus grave. Levez un doigt d'un trou près du bas et la colonne d'air s'arrête effectivement près de ce trou : tube plus court, note plus aiguë. Levez un doigt d'un trou près du haut et la colonne s'arrête bien plus haut : beaucoup plus court, beaucoup plus aigu. Chaque doigté correspond à une longueur.
Prédire la Longueur
Prenez la vitesse du son à 343 m/s et ignorez la correction d'extrémité pour une estimation.
Où Placer les Trous, et Pourquoi Ils S'entassent en Haut
Le Premier Trou Ouvert Est la Nouvelle Extrémité
De la Section 1 : la hauteur sonore d'une flûte à bec est déterminée par la distance de l'embouchure au premier trou ouvert (en descendant du haut). Donc tout le problème de l'endroit où percer les trous est le problème de placer une séquence de « nouvelles extrémités » de sorte que les découvrir une à une fasse monter la hauteur selon une gamme.
L'espacement est une suite géométrique, pas un espacement égal. Dans une gamme tempérée égale approximativement, chaque demi-ton est un rapport de fréquence de 2^(1/12), soit environ 1,0595. Puisque f est approximativement v / (2L), augmenter la hauteur d'un pas de rapport signifie raccourcir la longueur effective du rapport inverse : L_new est approximativement L_old x 2^(-1/12), soit environ 0,944 x L_old. Chaque pas vers le haut rogne environ 5,6 pour cent de ce qui reste. Donc les trous se rapprochent de plus en plus au fur et à mesure que vous vous approchez de l'embouchure : les trous du haut s'entassent. Cet entassement n'est pas un forage négligent ; c'est la géométrie d'une gamme multiplicative imposant un espacement multiplicatif.
Les vrais trous ne sont pas le bout entier du tube. Un trou pour doigt est plus petit que le diamètre du tube, donc ce n'est pas un 'nouveau bout' parfait : une partie de l'air sent encore le tube en dessous. L'effet est qu'un trou ouvert agit comme si le tube se terminait un peu plus loin que le trou, sur une distance qui dépend de la taille du trou et de l'épaisseur de la paroi (il y a une 'fréquence de coupure' pour le réseau de trous ouverts dans les instruments à touches). Les facteurs compensent en agrandissant les trous, en sous-coupant leurs bords, et en ajustant finement le profil du tube : les positions des trous publiées sont la géométrie après ces corrections.
Le cross-fingering est un bidouillage délibéré de la longueur. Les doigtés de base vous donnent une gamme diatonique : sept notes. Pour obtenir les notes chromatiques (fa dièse versus fa naturel, si bémol, etc.) vous cross-finger : vous découvrez un trou mais couvrez un trou en dessous. Ce trou en aval couvert ajoute de la longueur effective et augmente l'impédance, donc la note sort un peu plus basse que le doigté nu ne le donnerait : juste assez pour abaisser le fa dièse en fa naturel, ou où vous en avez besoin. Le cross-fingering est le joueur qui intervient et édite la longueur effective à la main, parce que douze trous équidistants ne rentrent pas sous dix doigts.
Placer les trous
Supposons qu'une flûte à bec simple ait une longueur effective de colonne d'air de 33 cm avec tous les trous couverts (sa note la plus grave). Utilisez 2^(1/12) ≈ 1,0595, donc monter d'un demi-ton multiplie la longueur effective par environ 0,944.
Tube ouvert, cylindre fermé, cône fermé
Le deuxième registre est la série harmonique, et le pavillon détermine quelles harmoniques existent
Soufflez un peu plus fort dans une flûte à bec, ou (mieux) ouvrez légèrement le trou de pouce dorsal, et la colonne d'air passe à un mode plus élevé : un membre plus haut de la série harmonique du tube. Quels modes plus élevés sont disponibles, et donc comment le registre supérieur se rapporte au registre inférieur, est décidé entièrement par la forme du pavillon : si le tube est ouvert ou fermé à l'embouchure, et s'il est cylindrique ou conique.
Ouvert aux deux extrémités (flûte à bec, flûte). Un tube ouvert aux deux extrémités supporte toutes les harmoniques : 1, 2, 3, 4, et ainsi de suite. La deuxième harmonique est deux fois la fréquence fondamentale, qui est l'octave. Ainsi, une flûte à bec ou une flûte suraiguë à l'octave : le registre supérieur répète les doigtés du registre inférieur, décalés d'une octave. C'est pourquoi les notes aiguës de la flûte à bec sont principalement les doigtés des notes graves avec le trou de pouce ouvert. Simple, régulier.
Cylindrique, fermée à l'extrémité de l'anche (clarinette). L'extrémité de l'embouchure d'une clarinette est effectivement une extrémité fermée (l'anche la scelle), et son tube est un cylindre. Un cylindre fermé à une extrémité et ouvert à l'autre ne supporte que les harmoniques impaires : 1, 3, 5, 7. Le saut le plus bas disponible est vers la troisième harmonique, trois fois la fréquence fondamentale, qui est un octave plus une quinte : une douzième. Ainsi, une clarinette sur-aiguë une douzième, pas un octave. Conséquences : les doigtés du registre aigu de la clarinette diffèrent beaucoup de ceux du registre grave (la fameuse « cassure » qu'il faut franchir), elle a une étendue inhabituellement large pour un seul tube (elle doit combler l'écart octave-douzième avec les doigtés de base), et son timbre est le son distinctif « creux » de la clarinette car les harmoniques paires sont faibles : harmoniques impaires seulement.
Conique, fermée à l'apex (hautbois, basson, saxophone). Voici la partie contre-intuitive. Un saxophone a une anche simple, donc son extrémité d'embouchure est « fermée » comme celle d'une clarinette : on s'attendrait à des harmoniques impaires seulement. Mais le tube du saxophone est un cône, pas un cylindre, et un cône complet fermé à l'apex se comporte, pour ses ondes stationnaires, comme un tube ouvert aux deux extrémités : il supporte toutes les harmoniques. Ainsi, un saxophone (et un hautbois, et un basson) sur-aiguë à l'octave, comme une flûte, malgré l'extrémité fermée par l'anche : le tube conique « corrige » l'extrémité fermée. C'est aussi pourquoi les bois à tube conique ont un timbre plus brillant et plus plein que la clarinette : les harmoniques paires sont présentes. La forme du tube, un pur morceau de géométrie, décide de la relation des registres et d'une grande partie du timbre.
Pourquoi cela importe pour l'apprentissage progressif. Un joueur de flûte à bec passant à la flûte traverse trouve la correspondance la plus nette, car les deux sont des tubes ouverts qui sur-aiguent à l'octave : les doigtés du registre aigu reflètent ceux du grave, comme sur la flûte à bec. Passer au saxophone, qui sur-aiguë aussi à l'octave, est presque aussi net. Passer à la clarinette signifie rencontrer la douzième et la cassure pour la première fois : toujours très apprenable, car le joueur sait déjà ce que « un changement de registre signifie un nouvel ensemble de doigtés » fait ressentir, mais la géométrie du tube est réellement différente là, et maintenant vous savez pourquoi.
Octave ou Douzième ?
Une clarinette, une flûte et un saxophone entrent dans une salle de répétition.
Ratios, Battements, la Comma, et la Douzième Racine de Deux
Les Intervalles Sont des Ratios
Deux notes sonnent consonantes quand leurs fréquences sont dans un ratio simple, car alors leurs séries d'harmoniques se chevauchent fortement et il y a peu de « battements » (le pouls lent que vous entendez quand deux fréquences proches interfèrent). Les ratios classiques : l'octave est 2:1, la quinte juste est 3:2, la quarte juste est 4:3, la tierce majeure est 5:4. Plus le ratio est simple, plus les harmoniques s'alignent, plus le son est doux. Fréquence de battement = la différence absolue des deux fréquences : deux cordes à 440 Hz et 442 Hz battent deux fois par seconde, et un accordeur élimine le battement en comblant cet écart. Accorder à l'oreille, c'est minimiser les battements.
La Comma Pythagoricienne : Les Quintes Pures Ne Fermant Pas le Cercle
Empilez douze quintes parfaites et vous devriez, en principe, retomber sur la note de départ, douze quintes et sept octaves plus tard. Mais (3/2)^12 est approximativement 129.746, tandis que 2^7 = 128. Ils ne correspondent pas : douze quintes pures dépassent sept octaves d'un rapport d'environ 1.0136, soit environ 23,5 cents (environ un quart de demi-ton). Cet écart est la comma pythagoricienne. Cela signifie que vous ne pouvez pas accorder un instrument en quintes pures 3:2 tout autour du clavier : quelque part une quinte doit être fausse, ou vous devez faire un compromis partout.
Tempérament Égal : Douze Pas Géométriquement Égaux
Le compromis moderne : diviser l'octave en douze pas géométriquement égaux, chacun ayant un rapport de fréquence de 2^(1/12) ≈ 1,05946. Maintenant, chaque demi-ton a le même rapport, chaque tonalité sonne pareil, et vous pouvez moduler partout. Le prix : chaque quinte fait 700 cents au lieu des 702 cents purs (une quinte un peu basse, à peine audible), et chaque tierce majeure fait 400 cents au lieu des 386 cents purs : c'est 14 cents trop haut, ce qu'une bonne oreille peut entendre, et c'est pourquoi les tierces en tempérament égal ont un léger scintillement agité. Les cents mesurent les intervalles logarithmiquement : cents = 1200 x log2(f2/f1), donc une octave fait 1200 cents et chaque demi-ton en tempérament égal fait exactement 100 cents.
Pourquoi le Cercle des Quintes Est un Cercle
En tempérament égal, une quinte fait exactement 700 cents, et 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200 : douze quintes en tempérament égal équivalent exactement à sept octaves. Donc si vous montez par quintes, Do, Sol, Ré, La, Mi, Si, Fa dièse, Do dièse, Sol dièse, Ré dièse, La dièse, Fa, et retour à Do, vous revenez exactement au point de départ après douze étapes. La comma pythagoricienne a été absorbée : la spirale des quintes pures a été pliée en une boucle fermée. C'est pourquoi le diagramme est dessiné comme un cercle avec douze points, un par quinte, qui boucle. (Vous pouvez aussi imaginer la hauteur comme une hélice : les douze classes de hauteurs sur un cercle, la hauteur d'octave sur un axe vertical, donc le même nom de note s'empile droit vers le haut.)
Ce Dont Vit une Flûte à Bec
Une flûte à bec est essentiellement fixe : vous pouvez tirer la tête pour accorder l'instrument entier, et les doigtés croisés et de légers changements de vitesse d'air nuancent un peu les notes individuelles, mais vous ne pouvez pas réaccorder un accord en plein phrase comme un quatuor à cordes ou une chorale a cappella. Donc une flûte à bec, comme un piano, vit avec les compromis du tempérament égal : ses tierces sont un peu hautes, ses quintes un peu basses, et c'est très bien car c'est cohérent. Un consort de flûtes à bec peut se rapprocher des intervalles purs par des choix de doigtés soignés et en écoutant, mais l'instrument est construit autour de la douzième racine de deux : il échange un peu de pureté dans chaque tonalité contre la liberté de jouer dans toutes les tonalités.
Fermer le Cercle
Utilisez 1200 cents par octave et cents = 1200 x log2(ratio).
Géométrie des bois : Résumé
Ce que vous avez appris
Presque tout chez un instrument à vent est une question de géométrie :
- La longueur détermine la hauteur. Pour un tuyau ouvert aux deux extrémités, f est approximativement v / (2L). Une colonne d'air de 33 cm produit environ un C5 ; divisez la longueur par deux et vous doublez la fréquence, une octave. Chaque doigté correspond à une longueur, et un trou de ton agit grosso modo comme la nouvelle extrémité ouverte, c'est pourquoi un trou supérieur modifie la hauteur bien plus qu'un trou inférieur.
- Le placement des trous suit une suite géométrique. Chaque demi-ton tempéré égal correspond à un rapport de fréquence de 2^(1/12), donc chaque pas réduit la longueur effective d'une fraction fixe (environ 5,6 pour cent) : les trous se regroupent vers le haut. Les vrais trous ne sont pas de plein alésage, donc les facteurs corrigent avec la taille des trous et le sous-coupage, et les joueurs atteignent les notes chromatiques avec des doigtés croisés, modifiant manuellement la longueur effective car douze trous ne rentrent pas sous dix doigts.
- La forme du pavillon décide du registre. Un tube ouvert (flûte à bec, flûte) supporte tous les harmoniques et surmonte l'octave. Un cylindre fermé à l'extrémité de l'anche (clarinette) ne supporte que les harmoniques impairs et surmonte une douzième, ce qui lui donne la « cassure », une large gamme sur un seul tube, et un son creux. Un cône fermé à l'apex (saxophone, hautbois, basson) se comporte comme un tube ouvert, supporte tous les harmoniques, et surmonte l'octave malgré l'extrémité fermée par l'anche, avec un son plus brillant. La flûte est la première étape la plus propre depuis la flûte à bec car les deux sont des tubes ouverts qui surmontent l'octave.
- La hauteur elle-même est un réseau de rapports. Octave 2:1, quinte 3:2, quarte 4:3, tierce majeure 5:4 : des rapports simples chevauchent les harmoniques et minimisent les battements (fréquence de battement est la différence des deux fréquences). Douze quintes pures dépassent sept octaves de la virgule pythagoricienne, environ 23,5 cents, donc le tempérament égal divise l'octave en douze pas géométriquement égaux de 2^(1/12) : chaque quinte 700 cents (2 plats), chaque tierce 400 cents (14 dièses), et maintenant douze quintes égalent exactement sept octaves, ce qui plie la spirale infinie des quintes pures en un cercle des quintes fermé. Une flûte à bec, comme un piano, vit dans ce compromis ; une chorale ou un quatuor à cordes, avec une hauteur continue, peut s'approcher des rapports purs.
Un flageolet est une règle, une rangée de trous espacés selon une série géométrique, un tube dont la forme détermine quels harmoniques il possède, et un participant dans un réseau à 700 cents qui se referme en cercle. Donnez cet instrument à un enfant et vous lui avez donné un laboratoire d'acoustique qui se trouve jouer « Hot Cross Buns », et une clé qui ouvre la flûte, la clarinette, le saxophone, et toute la géométrie de la musique.