Var Hålen Ska Sittas, och Varför De Klumpar Ihop Sig Överst

Det Första Öppna Hålet Är det Nya Ändstoppet

Från Avsnitt 1: en blockflöjtens tonhöjd bestäms av avståndet från munstycket till det första öppna hålet (räknat nedifrån toppen). Hela problemet med var man borrar hålen är alltså problemet med att placera en sekvens av 'nya ändstopp' så att man stegvis höjer tonen upp längs en skala när man öppnar dem ett i taget.

Avståndet är en geometrisk sekvens, inte en jämn sådan. I en ungefär lika tempererad skala är varje halvton en frekvensförhållande på 2^(1/12), vilket är ungefär 1,0595. Eftersom f ungefär är v / (2L) innebär att höja tonen med ett förhållandesteg att förkorta den effektiva längden med det omvända förhållandet: L_new är ungefär L_old x 2^(-1/12), vilket är ungefär 0,944 x L_old. Varje steg upp kapar ungefär 5,6 procent av det som är kvar. Därför kommer hålen allt närmare varandra ju närmare munstycket du kommer: de övre hålen klumpar ihop sig. Den klumpningen är inte slarvigt borrande; det är geometrin i en multiplikativ skala som tvingar fram en multiplikativ mellanrumsgivning.

Verkliga hål är inte hela borrningen. Ett fingerhål är mindre än rörets diameter, så det är inte en perfekt 'ny ända': en del av luften känner fortfarande röret under det. Effekten är att ett öppet hål fungerar som om röret slutade lite efter hålet, med ett mått som beror på hålets storlek och väggtjockleken (det finns en 'cutoff-frekvens' för det öppna hålets gitter i de ventilerade instrumenten). Tillverkare kompenserar genom att förstora hål, underkutta deras kanter och finjustera borrprofilen: de publicerade hålpositionerna är geometrin efter dessa korrigeringar.

Korsfingring är avsiktlig längdfusk. De grundläggande fingringarna ger dig en diatonisk skala: sju toner. För att få de kromatiska tonerna (F# mot F, B♭ och så vidare) korsfingrar du: du täcker upp ett hål men täcker ett hål under det. Det täckta nedströms hålet lägger tillbaka lite effektiv längd och höjer impedansen, så tonen blir lite lägre än den nakna fingringen skulle ge: precis tillräckligt för att sänka F# till F, eller var du än behöver. Korsfingring är spelaren som sträcker sig in och redigerar den effektiva längden för hand, eftersom tolv jämnt mellanrum hål inte får plats under tio fingrar.

Placering av hålen

Antag att en enkel blockflöjt har en effektiv luftkolonnlängd på 33 cm med alla hål täckta (dess lägsta ton). Använd 2^(1/12) ≈ 1,0595, så att gå upp en halvmjukton multiplicerar den effektiva längden med cirka 0,944.

Öppet rör, stängt cylinder, stängd kon

Andra registret är harmoniska serien, och borrningen bestämmer vilka harmoniska som finns

Blås i en blockflöjt lite hårdare, eller (bättre) kläm upp tumhålet på baksidan en smal springa, och luftpelaren hoppar till en högre läge: en högre medlem i harmoniska serien för röret. Vilka högre lägen som är tillgängliga, och därmed hur det övre registret relaterar till det lägre, bestäms helt av borrningens form: om röret är öppet eller stängt vid reedänden, och om det är cylindriskt eller koniskt.

Öppet i båda ändar (blockflöjt, flöjt). Ett rör öppet i båda ändar stödjer alla harmoniska: 1, 2, 3, 4, och så vidare. Den andra harmoniska är dubbelt så hög som grundfrekvensen, vilket är oktaven. Så en blockflöjt eller flöjt överblåser till oktaven: det övre registret upprepar det lägre registrets fingringar, förskjutet en oktav uppåt. Det är därför blockflöjtens höga toner mestadels är de låga tonernas fingringar med tumventilen öppen. Enkelt, regelbundet.

Cylindrisk, stängd vid rörbladsänden (klarinett). En klarinetts munstyckesända är effektivt en stängd ända (rörbladet tätar den), och dess borr är en cylinder. En cylinder stängd i ena änden och öppen i den andra stödjer endast udda harmoniska: 1, 3, 5, 7. Det lägsta tillgängliga språnget är till den tredje harmoniska, tre gånger grundfrekvensen, som är en oktav plus en kvint: en tolfte. Så en klarinett överblåser en tolfte, inte en oktav. Följder: klarinettens övre registerfingringar skiljer sig mycket från dess nedre register (det berömda 'brottet' du måste korsa), den har ett ovanligt stort omfång för ett enkeltrör (den måste fylla luckan mellan oktav och tolfte med grundfingringarna), och dess ton är det distinkta 'ihåliga' klarinettljudet eftersom de jämna harmoniska är svaga: endast udda harmoniska.

Konisk, stängd vid spetsen (oboe, fagott, saxofon). Här är det kontraintuitiva. En saxofon har ett enkelt rörblad, så dess munstyckesända är 'stängd' som en klarinetts: man skulle förvänta sig endast udda harmoniska. Men saxofons borr är en kon, inte en cylinder, och en komplett kon stängd vid spetsen beter sig, för sina stående vågor, som ett rör öppet i båda ändar: den stödjer alla harmoniska. Så en saxofon (och en oboe, och en fagott) överblåser till oktaven, som en flöjt, trots den stängda rörbladsänden: den koniska borrhålan 'fixar' den stängda ändan. Det är också därför de konborrade träblåsrarna har en ljusare, fylligare ton än klarinetten: de jämna harmoniska finns närvarande. Borraform, en bit ren geometri, bestämmer registerrelationen och en stor del av timbren.

Varför detta är viktigt för inkörningen. En blockflöjtspelare som går över till flöjt hittar den renaste matchningen, eftersom båda är öppna rör som överblåser oktaven: fingringarna i det övre registret ekar de nedre, precis som på blockflöjten. Att gå över till saxofon, som också överblåser oktaven, är nästan lika rent. Att gå över till klarinett innebär att möta tolfte och brottet för första gången: fortfarande mycket lärbart, eftersom spelaren redan vet hur det känns när 'ett registerbyte betyder ett nytt set fingringar', men borrgeometrin är genuint annorlunda där, och nu vet du varför.

Oktav eller Tolfte?

En klarinett, en flöjt och en saxofon går in i ett bandrum.

Förhållanden, slag, kommat och tolfte roten ur två

Intervall är förhållanden

Två toner låter konsonanta när deras frekvenser är i ett enkelt förhållande, eftersom deras övertonserie då överlappar kraftigt och det finns få "slag" (det långsamma pulserandet du hör när två närliggande frekvenser interfererar). De klassiska förhållandena: oktaven är 2:1, den rena femmen är 3:2, den rena kvarten är 4:3, stor ters är 5:4. Ju enklare förhållandet, desto mer stämmer harmoniska in, desto mjukare ljud. Slagfrekvens = den absoluta differensen mellan de två frekvenserna: två strängar vid 440 Hz och 442 Hz slår två gånger per sekund, och en stämmaskin dödar slagen genom att täppa till gapet. Stämning för örat är att minimera slagen.

Pythagoras komma: Rena femtedelar stänger inte cirkeln

Stapla tolv perfekta femtedelar så borde du, i princip, landa tillbaka på tonen du började med, tolv femtedelar och sju oktaver senare. Men (3/2)^12 är ungefär 129,746, medan 2^7 = 128. De matchar inte: tolv rena femtedelar överskjuter sju oktaver med ett förhållande på ungefär 1,0136, vilket är ungefär 23,5 cents (ungefär en fjärdedel av en halvton). Detta gap är Pythagoras komma. Det betyder att du inte kan stämma ett instrument i rena 3:2-femtedelar hela vägen runt tangentbordet: någonstans måste en femtedel vara falsk, eller så måste du kompromissa överallt.

Likväljning: Tolv geometriskt lika steg

Det moderna kompromisset: dela oktaven i tolv geometriskt lika steg, var och en med ett frekvensförhållande på 2^(1/12) är ungefär 1,05946. Nu är varje halvton samma förhållande, varje tonart låter likadant, och du kan modulera var som helst. Priset: varje femtedel är 700 cents istället för den rena 702 cents (en femtedel lite för platt, knappt hörbar), och varje stor ters är 400 cents istället för den rena 386 cents: det är 14 cents för skarp, vilket ett gott öra kan höra, och det är därför likväljda terser har ett svagt rastlöst skimrande. Cents mäter intervall logaritmiskt: cents = 1200 x log2(f2/f1), så en oktav är 1200 cents och varje likväljad halvton är exakt 100 cents.

Varför kvintcirkeln är en cirkel

I likväljning är en femtedel exakt 700 cents, och 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: tolv likväljda femtedelar är exakt lika med sju oktaver. Så om du går uppåt i femtedelar, C, G, D, A, E, B, Fis, Cis, Gis, Dis, Ais, F, och tillbaka till C, så återvänder du exakt till där du började efter tolv steg. Pythagoras komma har absorberats: spiralen av rena femtedelar har böjts till en sluten loop. Det är därför diagrammet ritas som en cirkel med tolv punkter, en per femtedel, som sluter sig. (Du kan också föreställa dig tonhöjd som en helix: de tolv tonklasserna på en cirkel, oktavhöjd på en vertikal axel, så samma bokstavsstav staplats rakt uppåt.)

Vad en blockflöjt lever med

En blockflöjt är i princip fast: du kan dra ut huvudstycket för att stämma hela instrumentet, och korsfingringar och mjuka luftflödesändringar kan skugga enskilda toner lite, men du kan inte instämma en ackord midti en fras som en stråkkvartett eller en a cappella-kör kan. Så en blockflöjt, liksom ett piano, lever med likväljningens kompromisser: dess terser är lite för skarpa, dess femtedelar lite för platta, och det är okej eftersom det är konsekvent. Ett konsort av blockflöjter kan närma sig rena intervall genom noggranna fingringsval och lyssnande, men instrumentet är byggt kring tolvte roten ur två: det byter lite renhet i varje tonart mot friheten att spela i varje tonart.

Att stänga cirkeln

Använd 1200 cents per oktav och cents = 1200 x log2(förhållande).

Blåsinstrumentens geometri: Sammanfattning

Vad du har lärt dig

Nästan allt om ett blåsinstrument handlar om geometri:

- Längden bestämmer tonhöjden. För ett rör öppet i båda ändar är f ungefär v / (2L). En 33 cm luftpelare låter ungefär C5; halvera längden och du dubblar frekvensen, en oktav. Varje grepp är en längd, och ett tonhål fungerar ungefär som den nya öppna änden, så den klingande tonhöjden är avståndet från munstycket till det första öppna hålet, vilket är varför ett övre hål ändrar tonhöjden mycket mer än ett nedre hål.

- Hålen placeras i en geometrisk sekvens. Varje liktempererad halton är ett frekvensförhållande på 2^(1/12), så varje steg kapar en fast bråkdel (ungefär 5,6 procent) av den effektiva längden: hålen klumpar ihop sig mot toppen. Verkliga hål är inte fullt genomgående, så tillverkare korrigerar med hålstorlek och underskärning, och spelare når de kromatiska tonerna med korsgrepp, handredigerar den effektiva längden eftersom tolv hål inte får plats under tio fingrar.

- Rörformens form bestämmer registret. Ett öppet rör (blockflöjt, flöjt) stödjer alla harmoniska och överblåser oktaven. En cylinder stängd vid rörbladsänden (klarinett) stödjer bara udda harmoniska och överblåser en tolfte, vilket ger den "brytningen", ett brett register på ett rör, och en ihålig ton. En kon stängd vid spetsen (saxofon, oboe, fagott) fungerar som ett öppet rör, stödjer alla harmoniska och överblåser oktaven trots den stängda rörbladsänden, med en ljusare ton. Flöjten är det renaste första steget från blockflöjten eftersom båda är oktavöverblåsande öppna rör.

- Tonhöjden i sig är ett rutnät av förhållanden. Oktav 2:1, kvint 3:2, kvart 4:3, stor ters 5:4: enkla förhållanden överlappar övertoner och minimerar slag (slagt频率 är skillnaden mellan de två frekvenserna). Tolv rena kvinter överskjuter sju oktaver med den pythagoreiska koman, ungefär 23,5 cent, så liktemperering delar oktaven i tolv geometriskt lika steg på 2^(1/12): varje kvint 700 cent (2 cent för platt), varje ters 400 cent (14 cent för skarp), och nu motsvarar tolv kvinter exakt sju oktaver, vilket böjer den oändliga spiralen av rena kvinter till den slutna kvintcirkeln. En blockflöjt, liksom en piano, lever i den kompromissen; en kör eller en stråkkvartett, med kontinuerlig tonhöjd, kan luta sig mot de rena förhållandena.

En blockflöjt är en linjal, en rad hål distanserade med en geometrisk serie, ett rör vars form väljer vilka harmoniska det äger, och en deltagare i ett 700-cent-gitter som sluter sig till en cirkel. Ge ett barn det instrumentet och du har gett dem ett akustiklaboratorium som råkar spela 'Hot Cross Buns', och en nyckel som öppnar flöjten, klarinetten, saxofonen och hela musikens geometri.