Un Tubo d'Aria, che Vibra
L'Altezza del Suono Risiede nella Lunghezza
Un flauto dolce è un tubo d'aria. Soffia sul bordo del becco e imposti l'intera colonna d'aria a vibrare alla frequenza che si adatta al tubo. Per un tubo aperto ad entrambe le estremità (il flauto dolce, il flauto si comportano così), la modalità più bassa è un'onda stazionaria con un antinodo a ciascuna estremità e un nodo in mezzo: ciò richiede mezzo lunghezza d'onda per attraversare il tubo, quindi la lunghezza d'onda del fondamentale è circa il doppio della lunghezza effettiva del tubo: lambda è approssimativamente 2L.
L'altezza del suono deriva dall'equazione d'onda: f = v / lambda, dove v è la velocità del suono nell'aria, circa 343 m/s a temperatura ambiente. Quindi f è approssimativamente v / (2L): un tubo più lungo significa una lunghezza d'onda più lunga significa un'altezza del suono più bassa. Dividi la lunghezza per due e raddoppi la frequenza: è esattamente un'ottava, ed è per questo che un flauto dolce contralto, costruito più lungo, si posiziona una quarta o giù di lì sotto il soprano.
Un controllo di sanità mentale. Il tubo sonoro di un flauto dolce soprano misura approssimativamente 0,32-0,33 m. Allora f è approssimativamente 343 / (2 x 0,33) che è circa 520 Hz, e C5 (la nota più bassa nominale del flauto dolce, scritta C) si trova a circa 523 Hz. La geometria predice lo strumento.
Fine della correzione. L'aria non si ferma esattamente all'apertura fisica: si gonfia un po' verso l'esterno, quindi la lunghezza effettiva è leggermente più lunga del tubo che puoi misurare (di circa 0,6 volte il raggio del foro a ciascuna estremità aperta). I costruttori di strumenti ne tengono conto; per i nostri scopi, la 'lunghezza effettiva' è quella che conta, ed è un po' più di quanto dice il righello.
Coprire e scoprire i fori significa cambiare la lunghezza. Copri tutti i fori e la colonna d'aria percorre l'intera lunghezza del tubo: nota più bassa. Solleva un dito da un foro vicino al fondo e la colonna d'aria termina efficacemente vicino a quel foro: tubo più corto, nota più alta. Solleva un dito da un foro vicino alla sommità e la colonna termina molto in alto: molto più corto, molto più alto. Ogni diteggiatura è una lunghezza.
Prevedere la Lunghezza
Prendi la velocità del suono come 343 m/s e ignora la correzione di estremità per una stima.
Dove Vanno i Fori, e Perché Si Accalcano in Alto
Il Primo Foro Aperto È il Nuovo Estremo
Dalla Sezione 1: il pitch di un flauto dolce è determinato dalla distanza dal bocchettone al primo foro aperto (scendendo dall'alto). Quindi tutto il problema di dove forare i fori è il problema di posizionare una sequenza di "nuovi estremi" in modo che scoprendoli uno alla volta si salga una scala.
La spaziatura è una sequenza geometrica, non una uniforme. In una scala a temperamento circa equabile, ogni semitono è un rapporto di frequenza di 2^(1/12), che è circa 1.0595. Poiché f è approssimativamente v / (2L), alzare il pitch di un passo di rapporto significa accorciare la lunghezza effettiva del rapporto inverso: L_new è approssimativamente L_old x 2^(-1/12), che è circa 0.944 x L_old. Ogni passo su taglia circa il 5.6 percento di ciò che resta. Quindi i fori si avvicinano sempre di più man mano che ti muovi verso il bocchettone: i fori in alto si accalcano. Quel raggruppamento non è una foratura approssimativa; è la geometria di una scala moltiplicativa che forza una spaziatura moltiplicativa.
I fori reali non sono l'intero foro. Un foro per il dito è più piccolo del diametro del tubo, quindi non è un perfetto "nuovo estremità": parte dell'aria sente ancora il tubo sotto di esso. L'effetto è che un foro aperto agisce come se il tubo terminasse un po' oltre il foro, di una quantità che dipende dalla dimensione del foro e dallo spessore della parete (c'è una "frequenza di taglio" per la griglia del foro aperto negli strumenti a chiavi). I costruttori compensano ingrandendo i fori, sfaccettando i loro bordi e regolando finemente il profilo del foro: le posizioni dei fori pubblicate sono la geometria dopo queste correzioni.
Il cross-fingering è un deliberato fudging della lunghezza. Le diteggiature base ti danno una scala diatonica: sette note. Per ottenere le note cromatiche (Fa diesis contro Fa naturale, Si bemolle, e così via) fai cross-fingering: scopri un foro ma copri un foro sotto di esso. Quel foro downstream coperto aggiunge indietro un po' di lunghezza effettiva e alza l'impedenza, quindi la nota esce un po' più bassa di quanto darebbe la diteggiatura nuda: giusto quanto basta per abbassare Fa diesis a Fa naturale, o ovunque tu ne abbia bisogno. Il cross-fingering è il suonatore che interviene e modifica la lunghezza effettiva a mano, perché dodici fori equidistanti non entrano sotto dieci dita.
Posizionare i Fori
Supponi che un semplice flauto dolce abbia una lunghezza effettiva della colonna d'aria di 33 cm con tutti i fori coperti (la sua nota più bassa). Usa 2^(1/12) approssimativamente 1.0595, quindi salire di un semitono moltiplica la lunghezza effettiva per circa 0.944.
Tubo Aperto, Cilindro Chiuso, Cono Chiuso
Il Secondo Registro È la Serie Armonica, e il Corpo del Tubo Sceglie Quali Armoniche Esistono
Soffia un po' più forte in un flauto dolce, o (meglio) apri leggermente il foro pollice posteriore, e la colonna d'aria salta a una modalità superiore: un membro superiore della serie armonica del tubo. Quali modalità superiori sono disponibili, e quindi come il registro superiore si relaziona a quello inferiore, è deciso interamente dalla forma del bore: se il tubo è aperto o chiuso all'estremità dell'ancia, e se è cilindrico o conico.
Aperto ad entrambe le estremità (flauto dolce, flauto). Un tubo aperto ad entrambe le estremità supporta tutte le armoniche: 1, 2, 3, 4, e così via. La seconda armonica è il doppio della frequenza fondamentale, che è l'ottava. Quindi un flauto dolce o flauto sovracanta all'ottava: il registro superiore ripete le diteggiature del registro inferiore, spostate di un'ottava. È per questo che le note alte del flauto dolce sono per lo più le diteggiature delle note basse con il foro pollice aperto. Semplice, regolare.
Cilindrico, chiuso all'estremità della linguetta (clarinetto). L'estremità del bocchino del clarinetto è efficacemente un'estremità chiusa (la linguetta la sigilla), e il suo foro è un cilindro. Un cilindro chiuso a un'estremità e aperto all'altra supporta solo le armoniche dispari: 1, 3, 5, 7. Il salto più basso disponibile è alla terza armonica, tre volte la frequenza fondamentale, che è un'ottava più una quinta: una dodicesima. Quindi un clarinetto overblowa una dodicesima, non un'ottava. Conseguenze: le diteggiature del registro acuto del clarinetto differiscono molto da quelle del registro grave (la famosa 'rottura' che devi attraversare), ha un ampio intervallo insolito per un singolo tubo (deve riempire il gap tra ottava e dodicesima con le diteggiature base), e il suo timbro è il caratteristico suono 'scavato' del clarinetto perché le armoniche pari sono deboli: solo armoniche dispari.
Conico, chiuso all'apice (oboe, fagotto, sassofono). Ecco la parte controintuitiva. Un sassofono ha una singola linguetta, quindi l'estremità del bocchino è 'chiusa' come quella di un clarinetto: ci si aspetterebbe solo armoniche dispari. Ma il foro del sassofono è un cono, non un cilindro, e un cono completo chiuso all'apice si comporta, per le sue onde stazionarie, come un tubo aperto ad entrambe le estremità: supporta tutte le armoniche. Quindi un sassofono (e un oboe, e un fagotto) overblowa all'ottava, come un flauto, nonostante l'estremità chiusa della linguetta: il foro conico 'corregge' l'estremità chiusa. È anche per questo che gli aerofoni a fiato con foro conico hanno un timbro più luminoso e pieno del clarinetto: le armoniche pari sono presenti. La forma del foro, un pezzo di pura geometria, decide la relazione tra registri e una grande parte del timbro.
Perché questo importa per l'on-ramp. Un flautista di flauto dolce che passa al flauto traverso trova la corrispondenza più pulita, perché entrambi sono tubi aperti che overblowano l'ottava: le diteggiature del registro acuto rispecchiano quelle del grave, proprio come sul flauto dolce. Passare al sassofono, anch'esso overblow all'ottava, è quasi altrettanto pulito. Passare al clarinetto significa incontrare la dodicesima e la rottura per la prima volta: ancora molto imparabile, perché il suonatore sa già cosa significa 'un cambio di registro implica un nuovo set di diteggiature', ma la geometria del foro è genuinamente diversa lì, e ora sai perché.
Ottava o Dodicesima?
Un clarinetto, un flauto e un sassofono entrano in una sala prove.
Rapporti, Battimenti, la Comma, e la Dodicesima Radice di Due
Gli Intervalli Sono Rapporti
Due note suonano consonanti quando le loro frequenze sono in un rapporto semplice, perché allora le loro serie di armoniche si sovrappongono pesantemente e ci sono pochi 'battimenti' (il pulsare lento che senti quando due frequenze vicine interferiscono). I rapporti classici: l'ottava è 2:1, la quinta giusta è 3:2, la quarta giusta è 4:3, la terza maggiore è 5:4. Più semplice è il rapporto, più le armoniche si allineano, più il suono è fluido. Frequenza di battimento = la differenza assoluta delle due frequenze: due corde a 440 Hz e 442 Hz battono due volte al secondo, e un accordatore elimina il battimento chiudendo quel gap. Accordare ad orecchio significa minimizzare i battimenti.
La Comma Pitagorica: Le Quinte Pure Non Chiudono il Cerchio
Impila dodici quinte perfette e, in principio, dovresti atterrare di nuovo sulla nota da cui sei partito, dodici quinte e sette ottave dopo. Ma (3/2)^12 è approssimativamente 129.746, mentre 2^7 = 128. Non coincidono: dodici quinte pure superano sette ottave di un rapporto di circa 1.0136, che è circa 23.5 cent (circa un quarto di un semitono). Questo intervallo è la comma pitagorica. Significa che non puoi accordare uno strumento in quinte pure 3:2 per tutto il giro della tastiera: da qualche parte una quinta deve essere stonata, o devi compromettere ovunque.
Temperamento Equabile: Dodici Passi Geometricamente Uguali
Il compromesso moderno: dividere l'ottava in dodici passi geometricamente uguali, ciascuno con un rapporto di frequenza di 2^(1/12) è approssimativamente 1.05946. Ora ogni semitono ha lo stesso rapporto, ogni tonalità suona uguale e puoi modulare ovunque. Il prezzo: ogni quinta è 700 cent invece dei puri 702 cent (una quinta un po' bassa, appena percettibile), e ogni terza maggiore è 400 cent invece dei puri 386 cent: cioè 14 cent troppo alta, che un buon orecchio può sentire, ed è per questo che le terze in temperamento equabile hanno un lieve scintillio irrequieto. I cent misurano gli intervalli logaritmicamente: cents = 1200 x log2(f2/f1), quindi un'ottava è 1200 cent e ogni semitono equabile è esattamente 100 cent.
Perché il Cerchio delle Quinte è un Cerchio
Nel temperamento equabile, una quinta è esattamente 700 cent, e 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: dodici quinte equabili equivalgono esattamente a sette ottave. Quindi se sali per quinte, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa diesis, Do diesis, Sol diesis, Re diesis, La diesis, Fa, e torni a Do, ritorni esattamente al punto di partenza dopo dodici passi. La comma pitagorica è stata assorbita: la spirale delle quinte pure è stata piegata in un ciclo chiuso. È per questo che il diagramma è disegnato come un cerchio con dodici punti, uno per quinta, che si avvolge su se stesso. (Puoi anche immaginare l'altezza come una elica: le dodici classi di altezza su un cerchio, l'altezza dell'ottava su un asse verticale, così lo stesso nome di nota si impila dritto verso l'alto.)
Con Cosa Vive un Flauto Dolce
Un flauto dolce è essenzialmente fisso: puoi tirare la testa per accordare tutto lo strumento, e le diteggiature incrociate e lievi variazioni della velocità dell'aria ombreggiano un po' le note individuali, ma non puoi riaccordare un accordo a metà frase come fa un quartetto d'archi o un coro a cappella. Quindi un flauto dolce, come un pianoforte, vive dentro i compromessi del temperamento equabile: le sue terze sono un po' alte, le sue quinte un filo basse, e va bene così perché è coerente. Un consorzio di flauti dolci può avvicinarsi agli intervalli puri con attente scelte di diteggiatura e ascolto, ma lo strumento è costruito intorno alla radice duodecima di due: scambia un po' di purezza in ogni tonalità per la libertà di suonare in ogni tonalità.
Chiudere il Cerchio
Usa 1200 cents per ottava e cents = 1200 x log2(ratio).
Geometria degli Aerofoni: Riepilogo
Cosa Hai Imparato
Quasi tutto su uno strumento a fiato è geometria:
- La lunghezza determina il pitch. Per un tubo aperto ad entrambe le estremità, f è approssimativamente v / (2L). Una colonna d'aria di 33 cm suona circa Do5; dimezza la lunghezza e raddoppi la frequenza, un'ottava. Ogni diteggiatura è una lunghezza, e un foro tonico agisce approssimativamente come la nuova estremità aperta, quindi il pitch suonato è la distanza dalla bocca al primo foro aperto, ed è per questo che un foro in alto cambia il pitch molto più di un foro in basso.
- Il posizionamento dei fori è una sequenza geometrica. Ogni semitono temperato equabile è un rapporto di frequenza di 2^(1/12), quindi ogni passo riduce di una frazione fissa (circa il 5,6 percento) la lunghezza effettiva: i fori si addensano verso l'alto. I fori reali non sono a tutta canna, quindi i costruttori correggono con la dimensione dei fori e l'incavo, e i suonatori raggiungono le note cromatiche con diteggiature incrociate, modificando manualmente la lunghezza effettiva perché dodici fori non entrano sotto dieci dita.
- La forma del foro decide il registro. Un tubo aperto (flauto dolce, flauto) supporta tutti gli armonici e overblowa l'ottava. Un cilindro chiuso all'estremità del cannello (clarinetto) supporta solo armonici dispari e overblowa una dodicesima, il che gli dà la 'rottura', un ampio range su un solo tubo, e un timbro cavo. Un cono chiuso all'apice (sassofono, oboe, fagotto) si comporta come un tubo aperto, supporta tutti gli armonici, e overblowa l'ottava nonostante l'estremità del cannello chiusa, con un timbro più brillante. Il flauto è il passo più pulito dal flauto dolce perché entrambi sono tubi aperti che overblowano l'ottava.
- Il pitch stesso è un reticolo di rapporti. Ottava 2:1, quinta 3:2, quarta 4:3, terza maggiore 5:4: rapporti semplici sovrappongono gli armonici e minimizzano i battimenti (la frequenza di battimento è la differenza delle due frequenze). Dodici quinte pure superano di sette ottave la virgola pitagorica, circa 23,5 centesimi, quindi il temperamento equabile divide l'ottava in dodici passi geometricamente uguali di 2^(1/12): ogni quinta 700 centesimi (2 bemolli), ogni terza 400 centesimi (14 diesis), e ora dodici quinte equivalgono esattamente a sette ottave, che piega la spirale infinita delle quinte pure nel cerchio chiuso delle quinte. Un flauto dolce, come un pianoforte, vive in quel compromesso; un coro o un quartetto d'archi, con pitch continuo, può tendere verso i rapporti puri.
Un registratore è una riga, una fila di fori spaziati secondo una serie geometrica, un tubo la cui forma determina quali armoniche possiede, e un partecipante in una griglia a 700 cent che si chiude in un cerchio. Dai a un bambino quello strumento e gli hai consegnato un laboratorio di acustica che casualmente suona 'Hot Cross Buns', e una chiave che apre il flauto, il clarinetto, il sassofono e l'intera geometria della musica.