Где располагаются отверстия и почему они сгущаются сверху

Первое открытое отверстие — новый конец

Из Раздела 1: высота тона флейты-сопрано определяется расстоянием от мундштука до первого открытого отверстия (считая сверху вниз). Таким образом, вся проблема размещения отверстий сводится к размещению последовательности «новых концов» так, чтобы открытие их по одному повышало тон по гамме.

Расстояние между ними образует геометрическую последовательность, а не равномерную. В примерно равномерно темперированной гамме каждый полутон соответствует отношению частот 2^(1/12), что примерно 1.0595. Поскольку f примерно v / (2L), повышение тона на один шаг отношения означает сокращение эффективной длины на обратное отношение: L_new примерно L_old x 2^(-1/12), что примерно 0.944 x L_old. Каждый шаг вверх срезает около 5.6 процентов от оставшегося. Поэтому отверстия становятся все ближе и ближе друг к другу по мере приближения к мундштуку: верхние отверстия сгущаются. Это сгущение — не небрежное сверление; это геометрия мультипликативной гаммы, навязывающая мультипликативное расположение.

Настоящие отверстия — это не весь канал. Отверстие для пальца меньше диаметра трубки, поэтому оно не является идеальным «новым концом»: часть воздуха всё ещё ощущает трубку под ним. В результате открытое отверстие действует так, как будто труба заканчивается чуть дальше отверстия, на величину, зависящую от размера отверстия и толщины стенки (существует «частота отсечки» для решётки открытых отверстий в клавишных инструментах). Мастера компенсируют это, расширяя отверстия, подрезая их края и точно настраивая профиль канала: опубликованные позиции отверстий — это геометрия после этих корректировок.

Кросс-фингеринг — это преднамеренное подтасовывание длины. Базовые аппликатуры дают диатоническую гамму: семь нот. Чтобы получить хроматические ноты (фа-диез против фа-натураль, си-бемоль и так далее), вы используете кросс-фингеринг: открываете одно отверстие, но закрываете отверстие ниже него. Это закрытое нижнее отверстие добавляет обратно некоторую эффективную длину и повышает импеданс, так что нота выходит немного ниже, чем дала бы чистая аппликатура: ровно настолько, чтобы опустить фа-диез до фа-натураль или куда нужно. Кросс-фингеринг — это когда игрок сам вмешивается и редактирует эффективную длину рукой, потому что двенадцать равномерно расположенных отверстий не поместятся под десятью пальцами.

Размещение отверстий

Предположим, у простой флейты имеет эффективную длину воздушной колонны 33 см со всеми закрытыми отверстиями (её самая низкая нота). Используйте 2^(1/12) ≈ 1.0595, так что подъём на один полутон умножает эффективную длину примерно на 0.944.

Открытая труба, закрытый цилиндр, закрытый конус

Второй регистр — это гармонический ряд, а мензура определяет, какие гармоники существуют

Дуйте в блокфлейту немного сильнее или (лучше) приоткройте заднее отверстие большого пальца на щель, и воздушная колонна переходит в более высокий режим: более высокую гармонику гармонического ряда трубы. Какие высшие режимы доступны и, следовательно, как верхний регистр соотносится с нижним, полностью определяется формой мензуры: открыта ли труба с конца трости или закрыта и является ли она цилиндрической или конической.

Открыта с обоих концов (блокфлейта, флейта). Труба, открытая с обоих концов, поддерживает все гармоники: 1, 2, 3, 4 и так далее. Вторая гармоника в два раза выше основной частоты, что составляет октаву. Поэтому блокфлейта или флейта передувает в октаву: верхний регистр повторяет аппликатуры нижнего регистра, сдвинутые на октаву вверх. Вот почему высокие ноты блокфлейты в основном представляют собой аппликатуры низких нот с открытым вентиляционным отверстием большого пальца. Просто, регулярно.

Цилиндрический, закрытый на конце с язычком (кларнет). Конец мундштука кларнета фактически является закрытым концом (язычок его запечатывает), а его мензура — цилиндр. Цилиндр, закрытый на одном конце и открытый на другом, поддерживает только нечётные гармоники: 1, 3, 5, 7. Самый низкий доступный скачок — к третьей гармонике, в три раза выше основной частоты, что составляет октаву плюс квинту: двенадцатую. Таким образом, кларнет передувает на двенадцатую, а не на октаву. Последствия: аппликатура верхнего регистра кларнета сильно отличается от нижнего (знаменитый «разрыв», который нужно преодолеть), у него необычно широкий диапазон для одной трубки (нужно заполнить пропуск между октавой и двенадцатой базовой аппликатурой), и его тембр — характерный «полый» звук кларнета, потому что чётные гармоники слабы: только нечётные.

Конический, закрытый на вершине (гобой, фагот, саксофон). Вот контр-интуитивная часть. У саксофона одинарный язычок, так что его конец мундштука «закрыт», как у кларнета: ожидалось бы только нечётные гармоники. Но мензура саксофона — конус, а не цилиндр, и полный конус, закрытый на вершине, для стоячих волн ведёт себя как труба открытая с обоих концов: он поддерживает все гармоники. Таким образом, саксофон (и гобой, и фагот) передувает на октаву, как флейта, несмотря на закрытый конец с язычком: коническая мензура «исправляет» закрытый конец. Это также объясняет, почему деревянные духовые с конической мензурой имеют более яркий, полный тембр, чем кларнет: чётные гармоники присутствуют. Форма мензуры, чистая геометрия, определяет связь регистров и большую часть тембра.

Почему это важно для начального этапа. Игрок на блокфлейте, переходящий на флейту, находит самое чистое совпадение, потому что обе — открытые трубки, передувающие на октаву: аппликатура верхнего регистра повторяет нижний, как на блокфлейте. Переход на саксофон, также передувающий на октаву, почти так же чист. Переход на кларнет означает встречу с двенадцатой и разрывом впервые: всё ещё очень обучаемо, потому что игрок уже знает, как ощущается «смена регистра означает новый набор аппликатур», но геометрия мензуры там действительно другая, и теперь вы знаете почему.

Октава или двенадцатая?

Кларнет, флейта и саксофон зашли в оркестровую.

Соотношения, биения, комма и двенадцатая степень двойки

Интервалы — это соотношения

Две ноты звучат консонансно, когда их частоты находятся в простом соотношении, потому что тогда их обертони сильно перекрываются и мало «биений» (медленное пульсирование, которое вы слышите, когда две близкие частоты интерферируют). Классические соотношения: октава — 2:1, чистая квинта — 3:2, чистая кварта — 4:3, большая терция — 5:4. Чем проще соотношение, тем лучше совпадают гармоники, тем smoother звук. Частота биения = абсолютная разность двух частот: две струны на 440 Гц и 442 Гц бьются дважды в секунду, а камертон устраняет биение, сужая этот зазор. Наградка на слух — это минимизация биений.

Пирфагорово запятая: Чистые квинты не замыкают круг

Наложите двенадцать чистых квинт, и в принципе вы должны вернуться к ноте, с которой начали, через двенадцать квинт и семь октав. Но (3/2)^12 ≈ 129.746, в то время как 2^7 = 128. Они не совпадают: двенадцать чистых квинт превышают семь октав в соотношении примерно 1.0136, что составляет около 23.5 центов (примерно четверть полутона). Этот разрыв — пирфагорово запятая. Это значит, что нельзя настроить инструмент в чистых квинтах 3:2 по всему кругу клавиатуры: где-то квинта должна быть фальшивой, или нужно пойти на компромисс везде.

Равномерная темперация: Двенадцать геометрически равных шагов

Современный компромисс: разделите октаву на двенадцать геометрически равных шагов, каждый с частотным соотношением 2^(1/12) ≈ 1.05946. Теперь каждый полутон имеет то же соотношение, каждая тональность звучит одинаково, и вы можете модулировать куда угодно. Цена: каждая квинта — 700 центов вместо чистых 702 центов (квинта чуть понижена, едва заметно), а каждая мажорная терция — 400 центов вместо чистых 386 центов: это 14 центов повыше, что может услышать хороший слух, и именно поэтому терции в равномерной темперации имеют слабое беспокойное мерцание. Центы измеряют интервалы логарифмически: cents = 1200 x log2(f2/f1), так что октава — 1200 центов, а каждый полутон в равномерной темперации — ровно 100 центов.

Почему круг квинт — это круг

В равномерной темперации квинта — ровно 700 центов, и 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: двенадцать квинт в равномерной темперации равны ровно семи октавам. Так что если вы идёте вверх по квинтам: C, G, D, A, E, B, F sharp, C sharp, G sharp, D sharp, A sharp, F и обратно к C, вы возвращаетесь точно на исходную позицию после двенадцати шагов. Пирфагорово запятая поглощена: спираль чистых квинт согнута в замкнутую петлю. Вот почему диаграмма нарисована как круг с двенадцатью точками, по одной на квинту, замыкающийся. (Вы также можете представить высоту тона как спираль: двенадцать классов высот на круге, высота октавы по вертикальной оси, так что одинаковые названия нот stacking прямо вверх.)

С чем живёт флейта-пикколо

Флейта-пикколо по сути фиксирована: вы можете выдвинуть головную часть, чтобы настроить весь инструмент, и кросс-фингеринг и лёгкие изменения скорости воздуха немного корректируют отдельные ноты, но вы не можете перестроить аккорд посреди фразы, как это делает струнный квартет или аккапельный хор. Так что флейта-пикколо, как пианино, живёт внутри компромиссов равномерной темперации: её терции чуть повыше, квинты чуть пониже, и это нормально, потому что всё последовательно. Консорт флейт-пикколо может подстраиваться под чистые интервалы с помощью тщательного выбора аппликатуры и слушания, но инструмент построен вокруг двенадцатой корня из двух: он жертвует малой чистотой в каждой тональности ради свободы играть в любой тональности.

Замыкание круга

Используйте 1200 центов на октаву и центы = 1200 × log₂(соотношение).

Геометрия духовых инструментов: Итог

Что вы узнали

Почти всё о духовых инструментах — это геометрия:

- Длина определяет высоту тона. Для трубы, открытой с обоих концов, f приблизительно равно v / (2L). Воздушная колонна длиной 33 см звучит примерно как C5; сократите длину вдвое — и частота удвоится, это октава. Каждое положение пальцев — это длина, а звуковая дыра действует примерно как новый открытый конец, поэтому высота тона определяется расстоянием от мундштука до первой открытой дыры, из-за чего верхняя дыра меняет высоту тона гораздо сильнее, чем нижняя.

- Расположение дырок — геометрическая последовательность. Каждый полутон в равномерной темперации — это частотное соотношение 2^(1/12), поэтому каждый шаг уменьшает эффективную длину на фиксированную долю (примерно 5,6 процента): дырочки сгружаются кверху. Реальные дырочки не бывают сквозными, поэтому мастера корректируют размером дырок и подрезкой, а исполнители достают хроматические ноты с помощью кросс-фингеринга, вручную редактируя эффективную длину, потому что двенадцать дырок не уместить под десятью пальцами.

- Форма канала определяет регистр. Открытая труба (блокфлейта, флейта) поддерживает все обертоны и передувается в октаву. Цилиндр, закрытый на конце с язычком (кларнет), поддерживает только нечётные обертоны и передувается в двенадцатую, что даёт ему «разрыв», широкий диапазон на одной трубе и полый тембр. Конус, закрытый на вершине (саксофон, гобой, фагот), ведёт себя как открытая труба, поддерживает все обертоны и передувается в октаву несмотря на закрытый язычковый конец, с более ярким тембром. Флейта — самый чистый первый шаг от блокфлейты, потому что обе — это открытые трубы, передувающиеся в октаву.

- Высота тона сама по себе — решётка соотношений. Октава 2:1, квинта 3:2, кварта 4:3, мажорная терция 5:4: простые соотношения перекрывают обертоны и минимизируют биения (частота биений — разница двух частот). Двенадцать чистых квинт перелетают семь октав на пифагорейскую кому, около 23,5 цента, поэтому равномерная темперация делит октаву на двенадцать геометрически равных шагов по 2^(1/12): каждая квинта по 700 центов (на 2 плоская), каждая терция по 400 центов (на 14 острая), и теперь двенадцать квинт точно равны семи октавам, что сгибает бесконечную спираль чистых квинт в замкнутый круг квинт. Блокфлейта, как и пианино, живёт в этом компромиссе; хор или струнный квартет с непрерывной высотой тона могут склоняться к чистым соотношениям.

Флейта-пикколо — это линейка, ряд отверстий, расположенных в геометрической прогрессии, трубка, форма которой определяет, какие обертоны она содержит, и участник 700-центовой решётки, которая замыкается в круг. Дайте ребёнку этот инструмент — и вы вручите ему акустическую лабораторию, которая умеет играть «Горячие булочки с изюмом», и ключ, открывающий флейту, кларнет, саксофон и всю геометрию музыки.