孔的位置，以及为什么它们在上部聚集

第一个开口孔是新的端点

来自第 1 节：竖笛的发音音高由吹口到第一个开口孔（从顶部向下）的距离决定。所以钻孔位置的整个问题就是放置一系列“新端点”的问题，以便逐一打开它们时音高逐步上升一个音阶。

间距是一个几何序列，而不是等差序列。 在大致平均律音阶中，每个半音的频率比率是 2^(1/12)，约为 1.0595。由于 f 约为 v / (2L)，将音高提高一个比率步长意味着将有效长度缩短为逆比率：L_new 约为 L_old x 2^(-1/12)，约为 0.944 x L_old。每向上一步都会削减剩余长度的约 5.6%。因此，随着向吹口移动，孔会越来越靠近：顶部孔聚集在一起。这种聚集不是粗糙的钻孔；这是乘法音阶强制乘法间距的几何特性。

真正的指孔并非整个管径。 指孔比管子的直径小，因此它不是一个完美的“新端”：仍有部分空气能感觉到它下方的管子。效果是，开孔的行为就像管道在孔上方一点点延伸结束，这个距离取决于孔的大小和壁厚（在键式乐器中，开孔格子有一个“截止频率”）。制作者通过扩大孔洞、削切孔边缘并微调管孔轮廓来补偿：公布的孔位置是这些修正后的几何形状。

交叉指法是有意为之的长度调整。 基本指法给你一个自然大调音阶：七个音。为了得到半音音（F# 对 F自然，Bb 等），你交叉指：打开一个孔但覆盖它下方的一个孔。那个被覆盖的下游孔会增加一些有效长度并提高阻抗，因此音高比纯指法稍低一点：刚好够将 F# 降到 F自然，或你需要的任何音。交叉指法就是演奏者亲手介入编辑有效长度，因为十二个均匀间隔的孔无法塞进十个手指下。

放置孔洞

假设一个简单的竖笛在所有孔被覆盖时的有效气柱长度为 33 cm（其最低音）。使用 2^(1/12) 约等于 1.0595，因此上行一个半音将有效长度乘以约 0.944。

开口管、闭合筒、闭合锥

第二个音域是泛音列，而管孔形状决定了哪些泛音存在

稍微用力吹竖笛，或者（更好）将后拇指孔微微捏开一条缝，气柱就会跳到更高的模式：管子的泛音列的更高成员。哪些更高的模式可用，以及因此上音域如何与下音域相关，完全由管孔形状决定：管子在簧片端是开口还是闭合，以及它是圆柱形还是锥形。

两端开口（竖笛、長笛）。 两端开口的管子支持所有泛音：1、2、3、4等等。第二泛音是基频的两倍，即八度。所以竖笛或长笛超吹到八度：上音域重复下音域的手指法，向上移一个八度。这就是为什么竖笛的高音大多是低音手指法加上拇指通风孔打开。简单、规律。

圆柱形，簧片端封闭（单簧管）。 单簧管的吹口端实际上是一个封闭端（簧片密封它），其管孔是一个圆柱体。一个一端封闭一端开放的圆柱体仅支持奇次谐波：1、3、5、7。最低可用的跳跃是到第三谐波，基频的三倍，即一个八度加五度：一个十二度。因此单簧管跨十二度吹高音，而不是八度。后果：单簧管的高音区指法与其低音区大不相同（著名的“断点”你必须跨越），它对于单根管子来说具有异常宽广的音域（必须用基本指法填补八度到十二度的空白），其音色是独特的“空洞”单簧管声音，因为偶次谐波较弱：仅奇次谐波。

圆锥形，顶点封闭（双簧管、低音管、萨克斯管）。 这里是反直觉的部分。萨克斯管有一个簧片，因此其吹口端像单簧管一样“封闭”：你会期望仅奇次谐波。但萨克斯管的管孔是一个圆锥体，而不是圆柱体，一个顶点封闭的完整圆锥体对于其驻波来说表现得像一根两端开放的管子：它支持所有谐波。因此萨克斯管（以及双簧管、低音管）跨八度吹高音，像长笛一样，尽管簧片端封闭：圆锥管孔“修复”了封闭端。这也是圆锥管孔木管乐器比单簧管音色更明亮、更饱满的原因：偶次谐波存在。管孔形状，一种纯粹的几何学，决定了音区关系和音色的很大一部分。

为什么这对入门很重要。 从竖笛转向长笛找到最干净的匹配，因为两者都是两端开放的管子，跨八度吹高音：高音区指法呼应低音区，就像竖笛上一样。转向萨克斯管，也是跨八度吹高音，几乎同样干净。转向单簧管意味着首次遇到十二度和断点：仍然非常易学，因为演奏者已经知道“音区变化意味着全新指法”的感觉，但管孔几何在那里确实不同，现在你知道为什么了。

八度还是十二度？

一支单簧管、一支长笛和一支萨克斯管走进乐队排练室。

比率、拍频、逗号，以及二的十二次方根

音程是比率

当两个音的频率处于简单比率时，它们听起来协和，因为那时它们的泛音列重叠很多，‘拍频’很少（当两个接近频率干涉时你听到的缓慢搏动）。经典比率：八度是2:1，纯五度是3:2，纯四度是4:3，大三度是5:4。比率越简单，泛音对齐得越多，声音越平滑。拍频 = 两个频率的绝对差：440 Hz和442 Hz的两根弦每秒搏动两次，调音器通过缩小差距消除拍频。凭耳调音就是最小化拍频。

毕达哥拉斯逗点：纯五度无法闭合圆圈

堆叠十二个纯五度，原则上你应该回到起始音符，十二个五度和七个八度之后。但是 (3/2)^12 大约是 129.746，而 2^7 = 128。它们并不匹配：十二个纯五度超出七个八度约 1.0136 的比例，这大约是 23.5 美分（大约四分之一半音）。这个差距就是 毕达哥拉斯逗点。这意味着你 无法 用纯 3:2 五度调音整个键盘：在某处一个五度必须走调，或者你必须处处妥协。

等律：十二个几何相等的步骤

现代的妥协：将八度分成 十二个几何相等的步骤，每个频率比例为 2^(1/12) 大约是 1.05946。现在每个半音都是相同的比例，每个调性听起来都一样，你可以任意转调。代价是：每个五度是 700 美分 而不是纯净的 702 美分（五度略平，几乎听不出），每个大三和弦是 400 美分 而不是纯净的 386 美分：这是 14 美分尖，好耳朵能听出来，这就是为什么等律三和弦有微弱的不安闪烁。美分 以对数方式测量音程：cents = 1200 x log2(f2/f1)，所以八度是 1200 美分，每个等律半音正好 100 美分。

为什么五度圈是一个圆圈

在等律中，五度正好是 700 美分，而且 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200：十二个等律五度正好等于七个八度。所以如果你按五度向上走，C、G、D、A、E、B、F sharp、C sharp、G sharp、D sharp、A sharp、F，然后回到 C，你在十二步后 精确 回到起点。毕达哥拉斯逗点已被吸收：纯五度的螺旋被弯曲成一个闭合循环。这就是为什么图表被画成一个 圆圈，有十二个点，每个五度一个，环绕一周。（你也可以将音高想象成一个 螺旋：十二个音级在圆圈上，八度高度在垂直轴上，所以相同字母名称直直向上堆叠。）

竖笛的生存之道

竖笛本质上是固定的：你可以拉开头关节来调整个乐器的音高，叉指法和轻微的气流速度变化可以稍微调整单个音符，但你无法像弦乐四重奏或无伴奏合唱团那样在中途短语中重新调和弦。所以竖笛像钢琴一样，生活在等律的妥协之中：它的三和弦有点尖，五度略平，但这没关系，因为它是一致的。一群竖笛可以通过仔细的指法选择和聆听来趋向纯音程，但乐器是围绕二的十二次方根建造的：它用每个调性的一点纯净换取在每个调性自由演奏的权利。

闭合圆圈

使用每八度1200音分，以及音分 = 1200 x log2(比率)。

木管几何：总结

您已学到的内容

几乎木管乐器的一切都与几何有关：

- 长度决定音高。 对于两端开口的管子，f 约等于 v / (2L)。33 cm 的气柱发音约为 C5；将长度减半，频率加倍，即一个八度。每个指法对应一个长度，音孔大致充当新的开口端，因此发音音高是吹口到第一个开口孔的距离，这就是为什么顶部的孔比底部的孔更大幅度改变音高的原因。

- 音孔位置是几何级数。 每个平均律半音的频率比为 2^(1/12)，因此每一步都从有效长度中削减固定比例（约 5.6%）：音孔向顶部聚集。实际音孔并非全径，因此制作者通过音孔大小和底切进行校正，演奏者使用交叉指法达到半音音，因为十个手指下无法容纳十二个音孔，手动调整有效长度。

- 管体形状决定音域。 开放管（竖笛、長笛）支持所有泛音并吹奏八度泛音。簧片端封闭的圆柱管（单簧管）仅支持奇次泛音并吹奏十二度泛音，这赋予其“断点”，即单管宽广音域和空洞音色。顶点封闭的锥形管（萨克斯、双簧管、巴松管）行为如开放管，支持所有泛音，尽管簧片端封闭仍吹奏八度泛音，音色更明亮。长笛是从竖笛到最干净的第一步，因为两者均为吹奏八度泛音的开放管。

- 音高本身是比率的晶格。 八度 2:1，五度 3:2，四度 4:3，大三度 5:4：简单比率重叠泛音并最小化拍频（拍频是两个频率的差值）。十二个纯五度超出七个八度一个毕达哥拉斯逗号，约 23.5 美分，因此平均律将八度分为十二个几何等分的步长 2^(1/12)：每个五度 700 美分（偏平 2 美分），每个三度 400 美分（偏尖 14 美分），现在十二个五度精确等于七个八度，将纯五度的无限螺旋弯曲成闭合的五度圈。竖笛如同钢琴，生活在这种妥协中；合唱或弦乐四重奏凭借连续音高，可以倾向于纯律比率。

录音机是一把尺子，一排按几何级数间隔的孔洞，一个其形状决定了它拥有哪些泛音的管子，以及一个参与700美分格子的参与者，这个格子闭合成一个圆。将这个乐器交给孩子，你就交给他们一个碰巧能演奏《热十字面包》的声学实验室，以及一把打开长笛、单簧管、萨克斯管和整个音乐几何学的钥匙。