Dónde Van los Agujeros, y Por Qué Se Agrupan Arriba

El Primer Agujero Abierto Es el Nuevo Extremo

De la Sección 1: el tono de un recorder se determina por la distancia desde la boquilla hasta el primer agujero abierto (yendo hacia abajo desde la parte superior). Así que todo el problema de dónde perforar los agujeros es el problema de colocar una secuencia de 'nuevos extremos' de modo que destaparlos uno a la vez eleve el tono por una escala.

El espaciado es una secuencia geométrica, no una uniforme. En una escala aproximadamente de temperamento igual, cada semitono es una relación de frecuencia de 2^(1/12), que es aproximadamente 1.0595. Dado que f es aproximadamente v / (2L), elevar el tono en un paso de relación significa acortar la longitud efectiva por la relación inversa: L_new es aproximadamente L_old x 2^(-1/12), que es aproximadamente 0.944 x L_old. Cada paso hacia arriba recorta aproximadamente el 5.6 por ciento de lo que queda. Así que los agujeros se ponen cada vez más juntos a medida que te acercas a la boquilla: los agujeros superiores se agrupan. Ese agrupamiento no es una perforación descuidada; es la geometría de una escala multiplicativa que fuerza un espaciado multiplicativo.

Los agujeros reales no son el extremo completo del tubo. Un agujero para dedo es más pequeño que el diámetro del tubo, por lo que no es un 'nuevo extremo' perfecto: algo del aire todavía siente el tubo debajo de él. El efecto es que un agujero abierto actúa como si el tubo terminara un poco más allá del agujero, por una cantidad que depende del tamaño del agujero y el grosor de la pared (hay una 'frecuencia de corte' para la red de agujeros abiertos en los instrumentos con llaves). Los fabricantes compensan agrandando los agujeros, socavando sus bordes y ajustando finamente el perfil del tubo: las posiciones de los agujeros publicadas son la geometría después de estas correcciones.

El cross-fingering es un ajuste deliberado de longitud. Las digitaciones básicas te dan una escala diatónica: siete notas. Para obtener las notas cromáticas (Fa sostenido versus Fa natural, Si bemol, etc.) cross-fingering: destapas un agujero pero tapas un agujero debajo de él. Ese agujero downstream tapado añade algo de longitud efectiva y eleva la impedancia, por lo que la nota sale un poco más grave de lo que daría la digitación desnuda: justo lo suficiente para bajar Fa sostenido a Fa natural, o donde lo necesites. El cross-fingering es el intérprete interviniendo y editando la longitud efectiva a mano, porque doce agujeros espaciados uniformemente no caben bajo diez dedos.

Colocando los Agujeros

Supongamos que una flauta dulce simple tiene una longitud efectiva de la columna de aire de 33 cm con todos los agujeros tapados (su nota más grave). Usa 2^(1/12) aproximadamente 1.0595, por lo que subir un semitono multiplica la longitud efectiva por aproximadamente 0.944.

Tubo Abierto, Cilindro Cerrado, Cono Cerrado

El Segundo Registro Es la Serie Armónica, y el Diámetro Decide Cuáles Armónicos Existen

Sopla una flauta dulce un poco más fuerte, o (mejor) abre una rendija en el agujero del pulgar trasero, y la columna de aire salta a un modo más alto: un miembro más alto de la serie armónica del tubo. Cuáles modos más altos están disponibles, y por lo tanto cómo se relaciona el registro superior con el inferior, lo decide enteramente la forma del diámetro: si el tubo está abierto o cerrado en el extremo de la lengüeta, y si es cilíndrico o cónico.

Abierto en ambos extremos (flauta dulce, flauta). Un tubo abierto en ambos extremos soporta todos los armónicos: 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente. El segundo armónico es el doble de la frecuencia fundamental, que es la octava. Así que una flauta dulce o flauta sobresopla a la octava: el registro superior repite las digitaciones del registro inferior, desplazadas una octava hacia arriba. Por eso las notas altas de la flauta dulce son mayormente las digitaciones de notas bajas con la abertura del pulgar abierta. Simple, regular.

Cilíndrico, cerrado en el extremo de la lengüeta (clarinete). El extremo de la boquilla de un clarinete es efectivamente un extremo cerrado (la lengüeta lo sella), y su cañón es un cilindro. Un cilindro cerrado en un extremo y abierto en el otro soporta solo los armónicos impares: 1, 3, 5, 7. El salto más bajo disponible es al tercer armónico, tres veces la frecuencia fundamental, que es una octava más una quinta: una duodécima. Por lo tanto, un clarinete sobre sopla una duodécima, no una octava. Consecuencias: las digitaciones del registro agudo del clarinete difieren mucho de las del registro grave (el famoso 'salto' que hay que cruzar), tiene un rango amplio de manera inusual para un solo tubo (tiene que rellenar el hueco de octava a duodécima con las digitaciones básicas), y su sonido es el distintivo 'hueco' del clarinete porque los armónicos pares son débiles: solo armónicos impares.

Cónico, cerrado en el ápice (oboe, fagot, saxofón). Aquí está la parte contraintuitiva. Un saxofón tiene una lengüeta simple, por lo que su extremo de la boquilla es 'cerrado' como el del clarinete: esperarías solo armónicos impares. Pero el cañón del saxofón es un cono, no un cilindro, y un cono completo cerrado en el ápice se comporta, para sus ondas estacionarias, como un tubo abierto en ambos extremos: soporta todos los armónicos. Por lo tanto, un saxofón (y un oboe, y un fagot) sobre sopla a la octava, como una flauta, a pesar del extremo cerrado de la lengüeta: el cañón cónico 'corrige' el extremo cerrado. Eso también explica por qué las maderas de cañón cónico tienen un tono más brillante y pleno que el clarinete: los armónicos pares están presentes. La forma del cañón, un pedazo de geometría pura, decide la relación de registros y una gran parte del timbre.

Por qué esto importa para la rampa de acceso. Un intérprete de flauta dulce que pasa a la flauta travesera encuentra la coincidencia más limpia, porque ambas son tubos abiertos que sobre soplan la octava: las digitaciones del registro agudo reflejan las del grave, igual que en la flauta dulce. Pasar al saxofón, que también sobre sopla la octava, es casi igual de limpio. Pasar al clarinete significa encontrarse con la duodécima y el salto por primera vez: aún muy aprendible, porque el intérprete ya sabe cómo se siente 'un cambio de registro significa un nuevo conjunto de digitaciones', pero la geometría del cañón es genuinamente diferente allí, y ahora sabes por qué.

¿Octava o Duodécima?

Un clarinete, una flauta y un saxofón entran en una sala de banda.

Razones, Pulsaciones, la Coma, y la Duodécima Raíz de Dos

Los Intervalos Son Razones

Dos notas suenan consonantes cuando sus frecuencias están en una razón simple, porque entonces sus series de armónicos se superponen fuertemente y hay pocas 'pulsaciones' (el latido lento que oyes cuando dos frecuencias cercanas interfieren). Las razones clásicas: la octava es 2:1, la quinta perfecta es 3:2, la cuarta perfecta es 4:3, la tercera mayor es 5:4. Cuanto más simple la razón, más se alinean los armónicos, más suave el sonido. Frecuencia de pulsación = la diferencia absoluta de las dos frecuencias: dos cuerdas a 440 Hz y 442 Hz pulsan dos veces por segundo, y un afinador elimina la pulsación cerrando esa brecha. Afinar de oído es minimizar las pulsaciones.

La Coma Pitagórica: Las Quintas Puras No Cierran el Círculo

Si apilas doce quintas perfectas, en principio deberías aterrizar de nuevo en la nota con la que empezaste, doce quintas y siete octavas después. Pero (3/2)^12 es aproximadamente 129.746, mientras que 2^7 = 128. No coinciden: doce quintas puras superan siete octavas en una razón de aproximadamente 1.0136, que son unos 23.5 cents (alrededor de un cuarto de un semitono). Esta brecha es la coma pitagórica. Significa que no puedes afinar un instrumento en quintas puras 3:2 todo el camino alrededor del teclado: en algún lugar una quinta tiene que sonar desafinada, o tienes que comprometerte en todas partes.

Temperamento Igual: Doce Pasos Geométricamente Iguales

El compromiso moderno: divide la octava en doce pasos geométricamente iguales, cada uno con una razón de frecuencia de 2^(1/12) es aproximadamente 1.05946. Ahora cada semitono tiene la misma razón, cada tonalidad suena igual, y puedes modular a cualquier lugar. El precio: cada quinta es 700 cents en lugar de los 702 cents puros (una quinta ligeramente bemol, apenas audible), y cada tercera mayor es 400 cents en lugar de los 386 cents puros: eso es 14 cents agudos, que un buen oído puede detectar, y por eso las terceras en temperamento igual tienen un leve brillo inquieto. Los cents miden los intervalos logarítmicamente: cents = 1200 x log2(f2/f1), por lo que una octava son 1200 cents y cada semitono en temperamento igual son exactamente 100 cents.

Por Qué el Círculo de Quintas Es un Círculo

En temperamento igual, una quinta es exactamente 700 cents, y 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: doce quintas en temperamento igual equivalen exactamente a siete octavas. Así que si subes por quintas, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa sostenido, Do sostenido, Sol sostenido, Re sostenido, La sostenido, Fa, y vuelves a Do, regresas exactamente a donde empezaste después de doce pasos. La coma pitagórica ha sido absorbida: la espiral de quintas puras ha sido doblada en un bucle cerrado. Por eso el diagrama se dibuja como un círculo con doce puntos, uno por quinta, envolviéndose. (También puedes imaginar la altura como una hélice: las doce clases de altura en un círculo, la altura de octava en un eje vertical, por lo que el mismo nombre de letra se apila recto hacia arriba.)

Con Qué Vive una Flauta Dulce

Una flauta dulce es esencialmente fija: puedes tirar de la cabeza para afinar todo el instrumento, y los digitados cruzados y cambios suaves en la velocidad del aire matizan notas individuales un poco, pero no puedes retocar un acorde a mitad de frase como lo hace un cuarteto de cuerdas o un coro a cappella. Así que una flauta dulce, como un piano, vive dentro de los compromisos del temperamento igual: sus terceras son un poco agudas, sus quintas un pelo bemol, y está bien porque es consistente. Un consorte de flautas dulces puede acercarse a intervalos puros con elecciones cuidadosas de digitación y escucha, pero el instrumento está construido alrededor de la raíz duodécima de dos: intercambia un poco de pureza en cada tonalidad por la libertad de tocar en cualquier tonalidad.

Cerrando el Círculo

Usa 1200 cents por octava y cents = 1200 x log2(ratio).

Geometría de instrumentos de viento: Resumen

Lo que has aprendido

Casi todo sobre un instrumento de viento es geometría:

- La longitud establece el tono. Para un tubo abierto en ambos extremos, f es aproximadamente v / (2L). Una columna de aire de 33 cm suena aproximadamente Do5; reduce la longitud a la mitad y duplicas la frecuencia, una octava. Cada digitación es una longitud, y un orificio actúa aproximadamente como el nuevo extremo abierto, por lo que el tono sonoro es la distancia desde la boquilla hasta el primer orificio abierto, lo que explica por qué un orificio superior cambia el tono mucho más que uno inferior.

- La colocación de los orificios es una secuencia geométrica. Cada semitono templado igual es una proporción de frecuencia de 2^(1/12), por lo que cada paso reduce una fracción fija (alrededor del 5.6 por ciento) de la longitud efectiva: los orificios se agrupan hacia la parte superior. Los orificios reales no son de calibre completo, por lo que los fabricantes corrigen con el tamaño del orificio y el biselado, y los intérpretes alcanzan las notas cromáticas con digitaciones cruzadas, editando manualmente la longitud efectiva porque doce orificios no caben bajo diez dedos.

- La forma del cañón decide el registro. Un tubo abierto (bloque de madera, flauta) soporta todos los armónicos y sobrepasa la octava. Un cilindro cerrado en el extremo de la lengüeta (clarinete) soporta solo armónicos impares y sobrepasa una duodécima, lo que le da el 'salto', un rango amplio en un solo tubo, y un tono hueco. Un cono cerrado en el ápice (saxofón, oboe, fagot) actúa como un tubo abierto, soporta todos los armónicos, y sobrepasa la octava a pesar del extremo de lengüeta cerrado, con un tono más brillante. La flauta es el paso más limpio desde el bloque de madera porque ambos son tubos abiertos que sobrepasan la octava.

- El tono en sí es una red de proporciones. Octava 2:1, quinta 3:2, cuarta 4:3, tercera mayor 5:4: proporciones simples superponen sobretonos y minimizan los batidos (la frecuencia de batido es la diferencia de las dos frecuencias). Doce quintas puras superan siete octavas por la coma pitagórica, alrededor de 23.5 cents, por lo que el temple igual divide la octava en doce pasos geométricamente iguales de 2^(1/12): cada quinta 700 cents (2 bemoles), cada tercera 400 cents (14 sostenidos), y ahora doce quintas equivalen exactamente a siete octavas, lo que dobla la espiral infinita de quintas puras en el círculo cerrado de quintas. Un bloque de madera, como un piano, vive en ese compromiso; un coro o un cuarteto de cuerdas, con tono continuo, puede inclinarse hacia las proporciones puras.

Una flauta dulce es una regla, una fila de agujeros espaciados por una serie geométrica, un tubo cuya forma selecciona qué armónicos posee, y un participante en una retícula de 700 centésimas que se cierra en un círculo. Entrega ese instrumento a un niño y le has entregado un laboratorio de acústica que casualmente toca 'Hot Cross Buns', y una llave que abre la flauta, el clarinete, el saxofón y toda la geometría de la música.