Um Tubo de Ar, Vibrando
A Afinação Vive no Comprimento
Uma flauta doce é um tubo de ar. Sopre sobre a borda do bocal e você coloca toda a coluna de ar vibrando na frequência que cabe no tubo. Para um tubo aberto em ambas as extremidades (a flauta doce, a flauta transversal se comportam assim), o modo mais baixo é uma onda estacionária com um antinó na cada extremidade e um nó no meio: isso leva meia comprimento de onda para abranger o tubo, então o comprimento de onda do fundamental é cerca de duas vezes o comprimento efetivo do tubo: lambda é aproximadamente 2L.
A afinação segue da equação de onda: f = v / lambda, onde v é a velocidade do som no ar, cerca de 343 m/s à temperatura ambiente. Então f é aproximadamente v / (2L): um tubo mais longo significa um comprimento de onda maior significa uma afinação mais grave. Divida o comprimento por dois e você dobra a frequência: isso é exatamente uma oitava, o que explica por que uma flauta doce contralto, construída mais longa, fica uma quarta ou mais abaixo da soprano.
Uma verificação de sanidade. O tubo sonoro de uma flauta doce soprano tem cerca de 0,32 a 0,33 m. Então f é aproximadamente 343 / (2 x 0,33) que é aproximadamente 520 Hz, e C5 (a nota mais grave nominal da flauta doce, escrita C) fica em cerca de 523 Hz. A geometria prevê o instrumento.
Fim da correção. O ar não para exatamente na abertura física: ele se expande um pouco para fora, então o comprimento efetivo é ligeiramente maior do que o tubo que você pode medir (aproximadamente 0,6 vezes o raio do furo em cada extremidade aberta). Fabricantes de instrumentos levam isso em conta; para nossos propósitos, o 'comprimento efetivo' é o que importa, e é um pouquinho mais do que a régua indica.
Cobrir e descobrir furos é mudar o comprimento. Cubra todos os furos e a coluna de ar percorre todo o comprimento do tubo: nota mais grave. Levante um dedo de um furo perto do fundo e a coluna de ar termina efetivamente perto desse furo: tubo mais curto, nota mais aguda. Levante um dedo de um furo perto do topo e a coluna termina bem lá em cima: muito mais curto, muito mais agudo. Cada dedilhado é um comprimento.
Prevendo o Comprimento
Considere a velocidade do som como 343 m/s e ignore a correção de extremidade para uma estimativa.
Onde os Furos Vão, e Por Que Eles se Aglomeram no Topo
O Primeiro Furo Aberto É o Novo Fim
Da Seção 1: a afinação de um gravador é determinada pela distância da embocadura até o primeiro furo aberto (descendo do topo). Então todo o problema de onde furar os furos é o problema de colocar uma sequência de 'novos fins' de modo que descobri-los um de cada vez eleve a afinação em uma escala.
O espaçamento é uma sequência geométrica, não uma uniforme. Em uma escala aproximadamente temperada igual, cada semitom é uma razão de frequência de 2^(1/12), que é cerca de 1.0595. Como f é aproximadamente v / (2L), elevar a afinação em um passo de razão significa encurtar o comprimento efetivo pela razão inversa: L_new é aproximadamente L_old x 2^(-1/12), que é cerca de 0.944 x L_old. Cada passo para cima corta cerca de 5,6 por cento do que resta. Então os furos ficam mais e mais próximos à medida que você se move em direção à embocadura: os furos do topo se aglomeram. Esse aglomeramento não é furadeira descuidada; é a geometria de uma escala multiplicativa forçando um espaçamento multiplicativo.
Os furos reais não são o diâmetro total do tubo. Um furo para dedo é menor que o diâmetro do tubo, então não é um 'novo extremo' perfeito: parte do ar ainda sente o tubo abaixo dele. O efeito é que um furo aberto age como se o tubo terminasse um pouco além do furo, por uma quantidade que depende do tamanho do furo e da espessura da parede (há uma 'frequência de corte' para a rede de furos abertos em instrumentos com chaves). Os fabricantes compensam enlargando os furos, sub-cortando suas bordas e ajustando finamente o perfil do furo: as posições dos furos publicadas são a geometria após essas correções.
Dedilhado cruzado é uma adulteração deliberada do comprimento. Os dedilhados básicos dão uma escala diatônica: sete notas. Para obter as notas cromáticas (Fá sustenido versus Fá natural, Si bemol, e assim por diante) você faz dedilhado cruzado: descobre um furo mas cobre um furo abaixo dele. Esse furo downstream coberto adiciona de volta algum comprimento efetivo e eleva a impedância, então a nota sai um pouco mais grave do que o dedilhado nu daria: exatamente o suficiente para baixar Fá sustenido para Fá natural, ou onde você precisar. Dedilhado cruzado é o executante intervindo e editando o comprimento efetivo à mão, porque doze furos igualmente espaçados não cabem sob dez dedos.
Colocando os Furos
Suponha que uma flauta doce simples tenha um comprimento efetivo da coluna de ar de 33 cm com todos os furos cobertos (sua nota mais grave). Use 2^(1/12) aproximadamente 1.0595, então subir um semitom multiplica o comprimento efetivo por cerca de 0.944.
Tubo Aberto, Cilindro Fechado, Cone Fechado
O Segundo Registro É a Série Harmônica, e o Diâmetro Escolhe Quais Hármônicos Existem
Sopre uma flauta doce um pouco mais forte, ou (melhor) abra uma fresta no furo do polegar traseiro, e a coluna de ar pula para um modo mais alto: um membro mais alto da série harmônica do tubo. Quais modos mais altos estão disponíveis, e portanto como o registro superior se relaciona com o inferior, é decidido inteiramente pela forma do diâmetro: se o tubo está aberto ou fechado na ponta da palheta, e se é cilíndrico ou cônico.
Aberto em ambas as extremidades (flauta doce, flauta). Um tubo aberto em ambas as extremidades suporta todos os harmônicos: 1, 2, 3, 4, e assim por diante. O segundo harmônico é duas vezes a frequência fundamental, que é a oitava. Então, uma flauta doce ou flauta sobrepõe para a oitava: o registro superior repete as digitadas do registro inferior, deslocadas uma oitava para cima. É por isso que as notas agudas da flauta doce são principalmente as digitadas das notas graves com a abertura do polegar aberta. Simples, regular.
Cilíndrico, fechado na extremidade da palheta (clarinete). A extremidade da embocadura de um clarinete é efetivamente uma extremidade fechada (a palheta a sela), e seu furo é um cilindro. Um cilindro fechado em uma extremidade e aberto na outra suporta apenas os harmônicos ímpares: 1, 3, 5, 7. O salto mais baixo disponível é para o terceiro harmônico, três vezes a frequência fundamental, que é uma oitava mais uma quinta: uma duodécima. Assim, um clarinete sobre-sopra uma duodécima, não uma oitava. Consequências: as digitadas do registro agudo do clarinete diferem muito das do registro grave (a famosa 'quebra' que você tem que atravessar), ele tem uma ampla extensão incomum para um único tubo (tem que preencher a lacuna da oitava-para-duodécima com as digitadas básicas), e seu timbre é o som distintivo 'oquificado' do clarinete porque os harmônicos pares são fracos: apenas harmônicos ímpares.
Cônico, fechado no ápice (oboé, fagote, saxofone). Aqui está a parte contraintuitiva. Um saxofone tem uma palheta simples, então sua extremidade da embocadura é 'fechada' como a de um clarinete: você esperaria apenas harmônicos ímpares. Mas o furo do saxofone é um cone, não um cilindro, e um cone completo fechado no ápice se comporta, para suas ondas estacionárias, como um tubo aberto em ambas as extremidades: ele suporta todos os harmônicos. Assim, um saxofone (e um oboé, e um fagote) sobre-sopra para a oitava, como uma flauta, apesar da extremidade fechada da palheta: o furo cônico 'corrige' a extremidade fechada. É por isso também que os aerofones de madeira com furo cônico têm um timbre mais brilhante e cheio que o clarinete: os harmônicos pares estão presentes. A forma do furo, um pedaço de geometria pura, decide a relação dos registros e uma grande parte do timbre.
Por que isso importa para a rampa de acesso. Um tocador de flauta doce que migra para a flauta transversal encontra a correspondência mais limpa, porque ambos são tubos abertos que sobre-sopram a oitava: as digitadas do registro agudo ecoam as do grave, exatamente como na flauta doce. Migrar para o saxofone, também sobre-soprando a oitava, é quase tão limpo. Migrar para o clarinete significa encontrar a duodécima e a quebra pela primeira vez: ainda muito aprendível, porque o tocador já sabe como 'uma mudança de registro significa um novo conjunto de digitadas' se sente, mas a geometria do furo é genuinamente diferente ali, e agora você sabe por quê.
Oitava ou Duodécima?
Um clarinete, uma flauta e um saxofone entram em uma sala de banda.
Razões, Batimentos, a Vírgula e a Raiz Doze de Dois
Intervalos São Razões
Duas notas soam consonantes quando suas frequências estão em uma razão simples, porque então suas séries de sobretons se sobrepõem fortemente e há poucos 'batimentos' (o latejar lento que você ouve quando duas frequências próximas interferem). As razões clássicas: a oitava é 2:1, a quinta perfeita é 3:2, a quarta perfeita é 4:3, a terça maior é 5:4. Quanto mais simples a razão, mais os harmônicos se alinham, mais suave o som. Frequência de batimento = a diferença absoluta das duas frequências: duas cordas a 440 Hz e 442 Hz batem duas vezes por segundo, e um afinador elimina o batimento fechando essa lacuna. Afinação de ouvido é minimizar batimentos.
A Vírgula Pitagórica: Quintas Puras Não Fecham o Círculo
Empilhe doze quintas perfeitas e, em princípio, você deveria voltar à nota inicial, doze quintas e sete oitavas depois. Mas (3/2)^12 é aproximadamente 129.746, enquanto 2^7 = 128. Elas não coincidem: doze quintas puras ultrapassam sete oitavas em uma razão de cerca de 1.0136, que é aproximadamente 23.5 cents (cerca de um quarto de um semitom). Essa lacuna é a vírgula pitagórica. Isso significa que você não pode afinar um instrumento em quintas puras 3:2 ao redor de todo o teclado: em algum lugar uma quinta tem que estar desafinada, ou você tem que comprometer em todos os lugares.
Temperamento Igual: Doze Passos Geometricamente Iguais
O compromisso moderno: divida a oitava em doze passos geometricamente iguais, cada um com uma razão de frequência de 2^(1/12) é aproximadamente 1.05946. Agora cada semitom tem a mesma razão, cada tom soa igual, e você pode modular para qualquer lugar. O preço: cada quinta é 700 cents em vez dos 702 cents puros (uma quinta ligeiramente baixa, quase inaudível), e cada terça maior é 400 cents em vez dos 386 cents puros: isso é 14 cents agudos, que um bom ouvido pode perceber, e é por isso que as terças em temperamento igual têm um leve brilho inquieto. Cents medem intervalos logaritmicamente: cents = 1200 x log2(f2/f1), então uma oitava é 1200 cents e cada semitom em temperamento igual é exatamente 100 cents.
Por Que o Círculo de Quintas É um Círculo
No temperamento igual, uma quinta é exatamente 700 cents, e 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: doze quintas em temperamento igual equivalem exatamente a sete oitavas. Então, se você subir por quintas, C, G, D, A, E, B, F sustenido, C sustenido, G sustenido, D sustenido, A sustenido, F, e voltar a C, você retorna exatamente ao ponto de partida após doze passos. A vírgula pitagórica foi absorvida: a espiral de quintas puras foi dobrada em um laço fechado. É por isso que o diagrama é desenhado como um círculo com doze pontos, um por quinta, envolvendo. (Você também pode imaginar a altura como uma hélice: as doze classes de altura em um círculo, altura da oitava em um eixo vertical, então o mesmo nome de letra empilha reto para cima.)
Com O Que uma Flauta Doce Convive
Uma flauta doce é essencialmente fixa: você pode puxar a junta da cabeça para afinar o instrumento inteiro, e dedilhados cruzados e mudanças suaves na velocidade do ar ajustam notas individuais um pouco, mas você não pode reafinar um acorde no meio de uma frase como um quarteto de cordas ou um coral a cappella pode. Então uma flauta doce, como um piano, vive dentro dos compromissos do temperamento igual: suas terças são um pouco agudas, suas quintas um pouco baixas, e isso é bom porque é consistente. Um consorte de flautas doces pode se aproximar de intervalos puros por escolhas cuidadosas de dedilhado e escuta, mas o instrumento é construído em torno da raiz duodécima de dois: ele troca um pouco de pureza em cada tom pela liberdade de tocar em todos os tons.
Fechando o Círculo
Use 1200 cents por oitava e cents = 1200 x log2(ratio).
Geometria de Madeiras: Resumo
O Que Você Aprendeu
Quase tudo sobre um instrumento de sopro é geometria:
- O comprimento define o tom. Para um tubo aberto em ambas as extremidades, f é aproximadamente v / (2L). Uma coluna de ar de 33 cm soa cerca de C5; halve o comprimento e você dobra a frequência, uma oitava. Cada dedilhado é um comprimento, e um orifício atua aproximadamente como a nova extremidade aberta, por isso o tom soante é a distância da embocadura até o primeiro orifício aberto, o que explica por que um orifício superior altera o tom muito mais do que um inferior.
- A colocação dos orifícios é uma sequência geométrica. Cada semitom temperado igual é uma proporção de frequência de 2^(1/12), então cada passo reduz uma fração fixa (cerca de 5,6 por cento) do comprimento efetivo: os orifícios se agrupam em direção ao topo. Orifícios reais não são de full-bore, então os fabricantes corrigem com o tamanho do orifício e chanframento, e os tocadores alcançam as notas cromáticas com dedilhados cruzados, editando manualmente o comprimento efetivo porque doze orifícios não cabem sob dez dedos.
- A forma do furo decide o registro. Um tubo aberto (flauta doce, flauta) suporta todos os harmônicos e sobre-sopra a oitava. Um cilindro fechado na extremidade da palheta (clarinete) suporta apenas harmônicos ímpares e sobre-sopra uma décima segunda, o que lhe dá a 'quebra', uma ampla gama em um tubo, e um tom oco. Um cone fechado no ápice (saxofone, oboé, fagote) age como um tubo aberto, suporta todos os harmônicos e sobre-sopra a oitava apesar da extremidade fechada da palheta, com um tom mais brilhante. A flauta é o passo mais limpo a partir da flauta doce porque ambas são tubos abertos que sobre-sopram a oitava.
- O tom em si é uma rede de proporções. Oitava 2:1, quinta 3:2, quarta 4:3, terça maior 5:4: proporções simples sobrepõem sobretons e minimizam batidas (frequência de batida é a diferença das duas frequências). Doze quintas puras ultrapassam sete oitavas pela vírgula pitagórica, cerca de 23,5 cents, então o temperamento igual divide a oitava em doze passos geometricamente iguais de 2^(1/12): toda quinta 700 cents (2 bemóis), toda terça 400 cents (14 sustenidos), e agora doze quintas igualam exatamente sete oitavas, o que dobra a espiral infinita de quintas puras no círculo fechado de quintas. Uma flauta doce, como um piano, vive nesse compromisso; um coral ou quarteto de cordas, com tom contínuo, pode se inclinar para as proporções puras.
Um gravador é uma régua, uma fileira de furos espaçados por uma série geométrica, um tubo cuja forma determina quais harmônicos ele possui, e um participante em uma rede de 700 cents que se fecha em um círculo. Entregue esse instrumento a uma criança e você terá entregue a ela um laboratório de acústica que, por acaso, toca 'Hot Cross Buns', e uma chave que abre a flauta, o clarinete, o saxofone e toda a geometria da música.