Gdzie Umieszczać Dziurki i Dlaczego Grupują się na Górze

Pierwsza Otwarta Dziurka to Nowy Koniec

Z Sekcji 1: wysokość dźwięku fletu prostego jest ustalana przez odległość od ustnika do pierwszej otwartej dziurki (idąc w dół od góry). Cały problem, gdzie wiercić dziurki, to problem umieszczenia sekwencji „nowych końców”, tak aby odkrywanie ich po kolei podnosiło wysokość dźwięku w skali.

Odstępy tworzą ciąg geometryczny, nie równomierny. W mniej więcej równomiernie temperowanej skali każdy półton to stosunek częstotliwości 2^(1/12), czyli około 1,0595. Ponieważ f ≈ v / (2L), podniesienie wysokości o jeden krok stosunku oznacza skrócenie efektywnej długości o odwrotny stosunek: L_new ≈ L_old x 2^(-1/12), czyli około 0,944 x L_old. Każdy krok w górę obcina około 5,6 procenta z tego, co pozostało. Dziurki stają się więc coraz bliżej siebie w miarę zbliżania się do ustnika: górne dziurki grupują się. To grupowanie nie jest niedbałym wierceniem; to geometria skali multiplikatywnej wymuszająca multiplikatywne odstępy.

Prawdziwe otwory to nie cały przewier. Otwór na palec jest mniejszy niż średnica rurki, więc nie jest idealnym „nowym końcem”: część powietrza nadal „czuje” rurkę poniżej niego. Efekt jest taki, że otwarty otwór działa, jakby rura kończyła się nieco dalej niż otwór, o ilość zależną od rozmiaru otworu i grubości ścianki (istnieje „częstotliwość odcięcia” dla kraty otworów otwartych w instrumentach z klapkami). Rzemieślnicy kompensują to powiększaniem otworów, podcinaniem ich krawędzi i precyzyjnym strojeniem profilu przewieru: publikowane pozycje otworów to geometria po tych korektach.

Skrzyżowanie palców to celowe kombinowanie z długością. Podstawowe układania palców dają skalę diatoniczną: siedem nut. Aby uzyskać nuty chromatyczne (fis versus f, bes itd.) skrzyżuj palce: odkrywasz jeden otwór, ale zakrywasz otwór poniżej niego. Ten zakryty downstream otwór dodaje z powrotem trochę efektywnej długości i podnosi impedancję, więc nuta wychodzi trochę niżej niż dałoby gołe ułożenie: dokładnie tyle, by opuścić fis do f lub gdziekolwiek potrzeba. Skrzyżowanie palców to gracz sięgający i ręcznie edytujący efektywną długość, bo dwanaście równomiernie rozstawionych otworów nie zmieści się pod dziesięcioma palcami.

Rozmieszczanie otworów

Załóżmy, że prosty flecik ma efektywną długość słupa powietrza 33 cm przy wszystkich otworach zakrytych (jego najniższa nuta). Użyj 2^(1/12) ≈ 1.0595, więc przejście o jeden półton w górę mnoży efektywną długość przez około 0.944.

Rura Otwarta, Cylinder Zamknięty, Stożek Zamknięty

Drugi Rejestry to Seria Harmonicznych, a Menura Decyduje, Które Harmoniczne Istnieją

Dmuchnij w flet poprzeczny trochę mocniej lub (lepiej) lekko otwórz kciukowy otwór z tyłu, a kolumna powietrza przeskoczy do wyższego trybu: wyższego członka serii harmonicznych rury. Które wyższe tryby są dostępne i dlatego jak górny rejestr odnosi się do dolnego, decyduje całkowicie kształt menury: czy rura jest otwarta czy zamknięta na końcu stroika i czy jest cylindryczna czy stożkowa.

Otwarta na obu końcach (flet prosty, flet poprzeczny). Rura otwarta na obu końcach wspiera wszystkie harmoniczne: 1, 2, 3, 4 i tak dalej. Drugi harmoniczny to dwa razy częstotliwość podstawowa, czyli oktawa. Więc flet prosty lub flet poprzeczny przeblowuje do oktawy: górny rejestr powtarza palcowania dolnego rejestru, przesunięte o oktawę w górę. Dlatego wysokie nuty fleta prostego to głównie palcowania niskich nut z otwartym otworem kciukowym. Proste, regularne.

Cylindryczny, zamknięty na końcu z stroikiem (klarnet). Końcówka ustnika klarnetu jest efektywnie zamkniętym końcem (stroik go uszczelnia), a jego menzura jest cylindrem. Cylinder zamknięty z jednego końca i otwarty z drugiego wspiera tylko nieparzyste harmoniczne: 1, 3, 5, 7. Najniższy dostępny skok to do trzeciego harmonicznego, trzykrotność częstotliwości podstawowej, co jest oktawą plus kwintą: dwunastą. Dlatego klarnet przebasuje dwunastą, a nie oktawę. Konsekwencje: palcowanie w wyższym rezyście klarnetu znacznie różni się od dolnego (słynne „przełamanie”, które trzeba pokonać), ma on niezwykły szeroki zakres jak na jedną rurę (trzeba wypełnić lukę między oktawą a dwunastą podstawowym palcowaniem), a jego brzmienie to charakterystyczny „pusty” dźwięk klarnetu, ponieważ parzyste harmoniczne są słabe: tylko nieparzyste.

Stożkowy, zamknięty na wierzchołku (obój, fagot, saksofon). Oto kontrintuicyjna część. Saksofon ma pojedynczy stroik, więc jego końcówka ustnika jest „zamknięta” jak u klarnetu: oczekiwałbyś tylko nieparzystych harmonicznych. Ale menzura saksofonu to stożek, a nie cylinder, a kompletny stożek zamknięty na wierzchołku zachowuje się dla fal stojących jak rura otwarta z obu końców: wspiera wszystkie harmoniczne. Dlatego saksofon (i obój, i fagot) przebasuje do oktawy, jak flet, pomimo zamkniętego końca ze stroikiem: stożkowa menzura „naprawia” zamknięty koniec. To także powód, dla którego drewniane instrumenty dęte ze stożkową menzurą mają jaśniejsze, pełniejsze brzmienie niż klarnet: parzyste harmoniczne są obecne. Kształt menzury, czysta geometria, decyduje o relacji rejestrów i dużej części tembru.

Dlaczego to ważne dla rampy wejściowej. Gracz na flecie prostym przechodzący na flet poprzeczny znajdzie najczystsze dopasowanie, ponieważ oba to rury otwarte, które przebasują oktawę: palcowanie w wyższym rezyście odbija dolne, dokładnie jak na flecie prostym. Przejście na saksofon, również przebasujące oktawę, jest prawie równie czyste. Przejście na klarnet oznacza spotkanie dwunastej i przełamania po raz pierwszy: wciąż bardzo do nauczenia, ponieważ gracz już wie, jak „zmiana rejestru oznacza nowy zestaw palcowań”, ale geometria menzury jest tam naprawdę inna, i teraz wiesz dlaczego.

Oktawa czy Dwunasta?

Klarnet, flet i saksofon wchodzą do sali prób.

Proporcje, bicie, przecinek, i dwunasta pierwiastek z dwóch

Interwały to proporcje

Dwa dźwięki brzmią konsonansowo, gdy ich częstotliwości są w prostej proporcji, ponieważ wtedy ich szeregi alikwotów mocno się nakładają i jest mało „bić” (powolne pulsowanie, które słyszysz, gdy dwie bliskie częstotliwości interferują). Klasyczne proporcje: oktawa to 2:1, czysta kwinta to 3:2, czysta kwarta to 4:3, duża tercja to 5:4. Im prostsza proporcja, tym lepiej harmoniczne się zgadzają, tym gładziej brzmi dźwięk. Częstotliwość bicia = bezwzględna różnica dwóch częstotliwości: dwie struny na 440 Hz i 442 Hz biją dwa razy na sekundę, a stroik zabija bicie, zamykając tę lukę. Strojenie słuchem to minimalizowanie bicia.

Koma pitagorejska: Czyste kwinty nie zamykają koła

Układając dwanaście czystych kwint, w zasadzie powinieneś wrócić do nuty, od której zacząłeś, po dwunastu kwintach i siedmiu oktawach. Ale (3/2)^12 wynosi około 129.746, podczas gdy 2^7 = 128. Nie zgadzają się: dwanaście czystych kwint przewyższa siedem oktaw o stosunek około 1.0136, co odpowiada w przybliżeniu 23,5 centa (około ćwierć półtonu). Ta luka to koma pitagorejska. Oznacza to, że nie można nastroić instrumentu w czystych kwintach 3:2 na całym klawiszach: gdzieś kwinta musi być fałszywa, albo trzeba iść na kompromis wszędzie.

Równomierne strojenie: Dwanaście geometrycznie równych kroków

Nowoczesny kompromis: podziel oktawę na dwanaście geometrycznie równych kroków, z których każdy ma stosunek częstotliwości 2^(1/12) ≈ 1.05946. Teraz każdy półton ma ten sam stosunek, każda tonacja brzmi tak samo, i możesz modulować wszędzie. Cena: każda kwinta ma 700 centów zamiast czystych 702 centów (kwinta nieco obniżona, ledwo słyszalna), a każda wielka tercja ma 400 centów zamiast czystych 386 centów: to 14 centów za ostro, co dobre ucho usłyszy, i dlatego tercje równomiernie strojone mają delikatny niespokojny połysk. Centy mierzą interwały logarytmicznie: cents = 1200 x log2(f2/f1), więc oktawa to 1200 centów, a każdy półton równomiernie strojony ma dokładnie 100 centów.

Dlaczego okrąg kwint jest kołem

W równomiernym strojeniu kwinta ma dokładnie 700 centów, a 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: dwanaście kwint równomiernie strojonych równa się dokładnie siedmiu oktawom. Więc jeśli idziesz w górę kwintami, C, G, D, A, E, B, Fis, Cis, Gis, Dis, Ais, F, i z powrotem do C, wracasz dokładnie do punktu startu po dwunastu krokach. Koma pitagorejska została wchłonięta: spirala czystych kwint została zgięta w zamkniętą pętlę. Dlatego diagram jest narysowany jako koło z dwunastoma punktami, po jednym na kwintę, owijające się dookoła. (Możesz też wyobrazić wysokość dźwięku jako helisę: dwanaście klas wysokości na kole, wysokość oktawy na osi pionowej, więc ta sama nazwa litery układa się prosto w górę.)

Z czym żyje flecik

Flecik jest zasadniczo stały: możesz wyciągnąć główkę, aby nastroić cały instrument, a krzyżowe palcowania i delikatne zmiany prędkości powietrza trochę korygują pojedyncze nuty, ale nie możesz przestroić akordu w środku frazy tak, jak robi to kwartet smyczkowy czy chór a cappella. Więc flecik, podobnie jak fortepian, żyje w kompromisach równomiernego strojenia: jego tercje są trochę za ostre, kwinty odrobinę za płaskie, i to w porządku, bo jest konsekwentny. Zespół flecików może delikatnie dążyć do czystych interwałów przez staranne wybory palcowań i słuchanie, ale instrument jest zbudowany wokół dwunastego pierwiastka z dwóch: wymienia trochę czystości w każdej tonacji na wolność gry w każdej tonacji.

Zamknięcie Koła

Użyj 1200 centów na oktawę i centy = 1200 x log2(stosunek).

Geometria instrumentów dętych drewnianych: Podsumowanie

Co się nauczyłeś

Prawie wszystko w instrumencie dętym to geometria:

- Długość ustala wysokość dźwięku. Dla rury otwartej z obu końców f wynosi około v / (2L). Kolumna powietrza o długości 33 cm brzmi mniej więcej C5; skróć długość o połowę, a podwoisz częstotliwość, czyli oktawę. Każde ułożenie palców to długość, a otwór tonalny działa mniej więcej jak nowy otwarty koniec, dlatego wysokość dźwięku zależy od odległości od stroika do pierwszego otwartego otworu, co wyjaśnia, dlaczego górny otwór zmienia wysokość dźwięku znacznie bardziej niż dolny.

- Rozmieszczenie otworów to ciąg geometryczny. Każdy półton równomiernie temperowany to stosunek częstotliwości 2^(1/12), więc każdy krok skraca efektywną długość o stały ułamek (około 5,6 procent): otwory skupiają się ku górze. Rzeczywiste otwory nie są pełnego przekroju, więc wytwórcy korygują to rozmiarem otworu i podcięciem, a muzykanci osiągają chromatyczne nuty za pomocą krzyżowych ułożeń palców, ręcznie edytując efektywną długość, ponieważ dwanaście otworów nie zmieści się pod dziesięcioma palcami.

- Kształt menzury decyduje o rejestrze. Rura otwarta (flet prosty, flet poprzeczny) wspiera wszystkie harmoniczne i nadmuchuje oktawę. Walec zamknięty na końcu stroikowym (klarnet) wspiera tylko nieparzyste harmoniczne i nadmuchuje dwunastą, co daje mu „przerwę”, szeroki zakres na jednej menzurze i pusty ton. Stożek zamknięty na wierzchołku (saksofon, obój, fagot) działa jak rura otwarta, wspiera wszystkie harmoniczne i nadmuchuje oktawę mimo zamkniętego stroika, z jaśniejszym tonem. Flet poprzeczny to najczystszy pierwszy krok od fletu prostego, ponieważ oba to otwarte rury nadmuchujące oktawę.

- Wysokość dźwięku to kratownica proporcji. Oktawa 2:1, kwinta 3:2, kwarta 4:3, wielka tercja 5:4: proste proporcje nakładają się na alikwoty i minimalizują bicia (częstotliwość bicia to różnica dwóch częstotliwości). Dwanaście czystych kwint przekracza siedem oktaw o pytającą przecinkę pitagorejską, około 23,5 centa, więc równomierne strojenie dzieli oktawę na dwanaście geometrycznie równych kroków 2^(1/12): każda kwinta 700 centów (2 cents płasko), każda tercja 400 centów (14 cents ostro), i teraz dwanaście kwint równa się dokładnie siedmiu oktawom, co zakrzywia nieskończoną spiralę czystych kwint w zamknięte koło kwint. Flet prosty, jak pianino, żyje w tym kompromisie; chór lub kwartet smyczkowy, z ciągłą wysokością dźwięku, może skłaniać się ku czystym proporcjom.

Rekorder to linijka, rząd otworów rozmieszczonych w serii geometrycznej, rurka, której kształt decyduje, które harmoniczne posiada, oraz uczestnik kraty 700-centowej, która zamyka się w koło. Podaj dziecku ten instrument, a wręczysz mu laboratorium akustyki, które przypadkiem gra „Hot Cross Buns”, oraz klucz, który otwiera flet, klarnet, saksofon i całą geometrię muzyki.