Де Розташовані Отвори та Чому Вони Згущуються Зверху

Перший Відкритий Отвір Є Новим Кінцем

З Розділу 1: робочий тон флейти ситнії визначається відстанню від мундштука до першого відкритого отвору (рухаючись вниз від верху). Отже, вся проблема розміщення отворів полягає в розміщенні послідовності «нових кінців», щоб відкриття їх по одному поступово підвищувало тон по гамі.

Відстані утворюють геометричну прогресію, а не рівномірну. У приблизно рівномірно темперованій гамі кожна півтона — це частотне співвідношення 2^(1/12), що становить близько 1.0595. Оскільки f приблизно v / (2L), підвищення тону на один крок співвідношення означає скорочення ефективної довжини на обернене співвідношення: L_new приблизно L_old x 2^(-1/12), що становить близько 0.944 x L_old. Кожен крок вгору відрізає приблизно 5.6 відсотка від того, що залишилося. Отже, отвори розташовуються все ближче і ближче один до одного по мірі наближення до мундштука: верхні отвори згущуються. Це згущення — не недбале свердління; це геометрія мультиплікативної гами, що змушує мультиплікативне розміщення.

Реальні отвори — це не весь отвір. Отвір для пальця менший за діаметр трубки, тому це не ідеальний «новий кінець»: частина повітря все ще відчуває трубку під ним. Ефект полягає в тому, що відкритий отвір діє так, ніби труба закінчується трохи далі отвору, на величину, що залежить від розміру отвору та товщини стінки (є «частота відсікання» для ґратки відкритого отвору в клавішних інструментах). Виробники компенсують це, розширюючи отвори, підрізуючи їхні краї та точно налаштовуючи профіль каналу: опубліковані позиції отворів — це геометрія після цих корекцій.

Перехресне пальцювання — це навмисне підганяння довжини. Основні пальцювання дають діатонічну гаму: сім нот. Щоб отримати хроматичні ноти (фа-дієз проти фа натуральне, сі-бемоль тощо), ви перехресно пальцюєте: відкриваєте один отвір, але закриваєте отвір нижче нього. Цей закритий отвір унизу додає назад деяку ефективну довжину та підвищує імпеданс, тому нота виходить трохи нижчою, ніж дало б чисте пальцювання: рівно настільки, щоб опустити фа-дієз до фа натуральне або куди потрібно. Перехресне пальцювання — це гравець, який втручається і редагує ефективну довжину вручну, бо дванадцять рівномірно розподілених отворів не помістяться під десятьма пальцями.

Розташування отворів

Припустимо, проста флейта має ефективну довжину повітряного стовпа 33 см з усіма закритими отворами (її найнижча нота). Використовуйте 2^(1/12) приблизно 1.0595, тому підняття на один півтон множить ефективну довжину приблизно на 0.944.

Відкрита Труба, Закритий Циліндр, Закритий Конус

Другий регістр — це Гармонічна Серія, а Форма Каналу Вибирає, Які Гармоніки Існують

Дуйте в блокфлейту трохи сильніше або (краще) злегка відкрийте задній великий палець отвір, і повітряна колона переходить до вищого режиму: вищого члена гармонічної серії труби. Які вищі режими доступні та, отже, як верхній регістр пов’язаний з нижнім, визначається виключно формою каналу: чи відкрита труба з обох кінців біля язичка, і чи є вона циліндричною чи конічною.

Відкрита з обох кінців (блокфлейта, флейта). Труба, відкрита з обох кінців, підтримує всі гармоніки: 1, 2, 3, 4 і так далі. Друга гармоніка вдвічі перевищує фундаментальну частоту, що є октавою. Отже, блокфлейта чи флейта передуває до октави: верхній регістр повторює пальцювання нижнього регістру, зміщене на октаву вгору. Ось чому високі ноти блокфлейти переважно є пальцюваннями низьких нот з відкритим вентиляційним отвором великого пальця. Просто, регулярно.

Циліндрична, закрита на кінці з язиком (кларнет). Кінцевий отвір мундштука кларнета фактично є закритим кінцем (язик її закриває), а його мензура є циліндром. Циліндр, закритий з одного кінця і відкритий з іншого, підтримує лише непарні гармоніки: 1, 3, 5, 7. Найнижчий доступний стрибок — до третьої гармоніки, утричі вищої за фундаментальну частоту, що є октавою плюс квінтою: дванадцятою. Отже, кларнет передуває на дванадцяту, а не на октаву. Наслідки: апплікатура верхнього регістру кларнета значно відрізняється від нижнього (знаменитий «перехід», який потрібно подолати), він має незвично широкий діапазон для однієї труби (йому доводиться заповнювати прогалину від октави до дванадцятої базовою апплікатурою), і його тембр — характерний «порожній» звук кларнета, бо парні гармоніки слабкі: лише непарні.

Конічна, закрита на вершині (гобой, фагот, саксофон). Ось контрінтуїтивна частина. Саксофон має одинарний язик, тож його мундштуковий кінець «закритий», як у кларнета: очікували б лише непарні гармоніки. Але мензура саксофона — конус, а не циліндр, і повний конус, закритий на вершині, для стоячих хвиль поводиться як труба відкрита з обох кінців: підтримує усі гармоніки. Отже, саксофон (і гобой, і фагот) передуває на октаву, як флейта, попри закритий кінець з язиком: конічна мензура «виправляє» закритий кінець. Саме тому дерев'яні духові з конічною мензурою мають яскравіший, повніший тембр, ніж кларнет: парні гармоніки присутні. Форма мензури, чиста геометрія, визначає зв'язок регістрів і велику частину тембру.

Чому це важливо для початкового етапу. Гравець на блокфлейті, переходячи на флейту, знаходить найчистішу відповідність, бо обидві — відкриті труби, що передувають на октаву: апплікатура верхнього регістру віддзеркалює нижній, як на блокфлейті. Перехід на саксофон, також що передує на октаву, майже такий же чистий. Перехід на кларнет означає знайомство з дванадцятою та переходом уперше: все ще дуже вивчабне, бо гравець уже знає, як відчувається «зміна регістру означає новий набір апплікатури», але геометрія мензури там справді інша, і тепер ви знаєте чому.

Октава чи дванадцята?

Кларнет, флейта та саксофон зайшли до музичної кімнати.

Відношення, Бити, Кома та Дванадцятий корінь з двох

Інтервали — це відношення

Дві ноти звучать консонансно, коли їхні частоти перебувають у простому відношенні, тому що тоді їхні ряди обертона сильно перекриваються і є мало «битів» (повільного пульсування, яке ви чуєте, коли дві близькі частоти інтерферують). Класичні відношення: октава — 2:1, чиста квінта — 3:2, чиста кварта — 4:3, велика терція — 5:4. Чим простіше відношення, тим більше гармоніки вирівнюються, тим м'якший звук. Частота бітів = абсолютна різниця двох частот: дві струни на 440 Гц і 442 Гц б'ють двічі на секунду, а стрій прибирає біт, закриваючи цей розрив. Налаштування на слух — це мінімізація бітів.

Піфагорова кома: Чисті квінти не замикають коло

Накладаючи дванадцять чистих квінт, ви, в принципі, повинні повернутися до ноти, з якої почали, через дванадцять квінт і сім октав. Але (3/2)^12 приблизно 129.746, тоді як 2^7 = 128. Вони не збігаються: дванадцять чистих квінт перевищують сім октав на відношення приблизно 1.0136, що становить приблизно 23.5 центів (близько чверті півтону). Цей розрив — піфагорова кома. Це означає, що неможливо налаштувати інструмент у чистих квінтах 3:2 по всьому клавіатурному колу: десь квінта має бути фальшивою, або потрібно піти на компроміс скрізь.

Рівномірна темперація: Дванадцять геометрично рівних кроків

Сучасний компроміс: розділити октаву на дванадцять геометрично рівних кроків, кожен з частотним відношенням 2^(1/12) приблизно 1.05946. Тепер кожен півтон має те саме відношення, кожна тональність звучить однаково, і ви можете модулювати куди завгодно. Ціна: кожна квінта — 700 центів замість чистих 702 центів (квінта трохи сплющена, ледь чутно), і кожна мажорна терція — 400 центів замість чистих 386 центів: це 14 центів надто високо, що добре чутне вухо, і тому терції в рівномірній темперації мають слабке неспокійне мерехтіння. Центи вимірюють інтервали логарифмічно: cents = 1200 x log2(f2/f1), тому октава — 1200 центів, а кожен півтон у рівномірній темперації — рівно 100 центів.

Чому коло квінт — це коло

У рівномірній темперації квінта — рівно 700 центів, і 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: дванадцять квінт у рівномірній темперації дорівнюють рівно семи октавам. Тому, якщо йти вгору квінтами, C, G, D, A, E, B, F sharp, C sharp, G sharp, D sharp, A sharp, F, і назад до C, ви повертаєтеся точно туди, де почали, після дванадцяти кроків. Піфагорова кома поглинена: спіраль чистих квінт зігнута в замкнуте коло. Ось чому діаграма намальована як коло з дванадцятьма точками, по одній на квінту, що замикається. (Ви також можете уявити висоту тону як спіраль: дванадцять класів тонів на колі, висота октави на вертикальній осі, тому однакові назви літер стоять прямо одна над одною.)

З чим живе флейта-піколо

Флейта-піколо по суті фіксована: ви можете потягнути головну частину, щоб налаштувати весь інструмент, і хрестоподібні апплікатури та м'які зміни швидкості повітря трохи коригують окремі ноти, але ви не можете перебудувати акорд посеред фрази, як це робить струнний квартет чи а капела. Тому флейта-піколо, як і фортепіано, живе в компромісах рівномірної темперації: її терції трохи надто високі, квінти трохи сплющені, і це нормально, бо послідовно. Ансамбль флейт-піколо може наблизитися до чистих інтервалів ретельним вибором апплікатур і слуханням, але інструмент побудований навколо дванадцятого кореня з двох: він обмінює трохи чистоти в кожній тональності на свободу грати в кожній тональності.

Закриття кола

Використовуйте 1200 центів на октаву та центи = 1200 x log2(співвідношення).

Геометрія дерев'яних духових: Підсумок

Що Ви Вивчили

Майже все про духовий інструмент — це геометрія:

- Довжина визначає висоту. Для труби, відкритої з обох кінців, f приблизно дорівнює v / (2L). Повітряний стовп 33 см видає приблизно C5; вдвічі скоротіть довжину — і ви подвоїте частоту, октаву. Кожне накладання пальців — це довжина, а тональний отвір діє приблизно як новий відкритий кінець, тому висота звуку визначається відстанню від мундштука до першого відкритого отвору, через що верхній отвір змінює висоту набагато більше, ніж нижній.

- Розташування отворів — геометрична послідовність. Кожен півтон у рівномірній темперації — це частотне співвідношення 2^(1/12), тому кожен крок відрізає фіксовану частку (близько 5,6 відсотка) від ефективної довжини: отвори згуртовуються до верху. Реальні отвори не повнопрохідні, тому майстри коригують розміром отворів та підрізанням, а гравці досягають хроматичних нот за допомогою перехресного накладання пальців, редагуючи ефективну довжину руками, бо дванадцять отворів не вмістити під десять пальців.

- Форма каналу визначає регістр. Відкрита труба (флейта-піколо, флейта) підтримує всі гармоніки та передуває октаву. Циліндр, закритий на стороні тростини (кларнет), підтримує лише непарні гармоніки та передуває дванадцяту, що дає йому 'перехід', широкий діапазон на одній трубі та порожній тон. Конус, закритий на вершині (саксофон, гобой, фагот), діє як відкрита труба, підтримує всі гармоніки та передуває октаву попри закритий кінець з тростиною, з яскравішим тоном. Флейта — найчистіший перший крок від флейти-піколо, бо обидві — це відкриті труби, що передувають октаву.

- Сама висота — це ґратка співвідношень. Октава 2:1, квинта 3:2, кварта 4:3, мажорна терція 5:4: прості співвідношення перекривають обертони та мінімізують біт (частота бітів — різниця двох частот). Дванадцять чистих квінт перевищують сім октав на піфагорову кому, близько 23,5 центів, тому рівномірна темперація ділить октаву на дванадцять геометрично рівних кроків по 2^(1/12): кожна квинта 700 центів (2 плоскі), кожна терція 400 центів (14 різких), і тепер дванадцять квінт точно дорівнюють семи октавам, що згинає нескінченну спіраль чистих квінт у замкнуте коло квінт. Флейта-піколо, як піаніно, живе в тому компромісі; хор чи струнний квартет з неперервною висотою можуть тяжіти до чистих співвідношень.

Рекордер — це лінійка, ряд отворів, розташованих у геометричній прогресії, трубка, форма якої визначає, які гармоніки вона має, і учасник 700-центової ґратки, що замикається в коло. Дайте дитині цей інструмент — і ви вручите їй акустичну лабораторію, яка вміє грати «Hot Cross Buns», та ключ, що відчиняє флейту, кларнет, саксофон і всю геометрію музики.