Waar de Gaten Zitten, en Waarom Ze Bovenaan Samenkomen

Het Eerste Open Gat Is het Nieuwe Einde

Uit Sectie 1: de toonhoogte van een blokfluit wordt bepaald door de afstand van het mondstuk tot het eerste open gat (van boven naar beneden). Dus het hele probleem van waar de gaten te boren, is het probleem van het plaatsen van een reeks 'nieuwe einden' zodat het openen ervan één voor één de toonhoogte een toonladder op leidt.

De onderlinge afstand is een geometrische reeks, geen gelijkmatige. In een ongeveer gelijkzwevend gestemde toonladder is elke halve toon een frequentieverhouding van 2^(1/12), wat ongeveer 1,0595 is. Aangezien f ongeveer v / (2L) is, betekent het verhogen van de toonhoogte met één verhoudingsstap het verkorten van de effectieve lengte met de inverse verhouding: L_new is ongeveer L_old x 2^(-1/12), wat ongeveer 0,944 x L_old is. Elke stap omhoog scheert ongeveer 5,6 procent af van wat over is. Dus de gaten komen steeds dichter bij elkaar naarmate je naar het mondstuk toe beweegt: de bovenste gaten komen bij elkaar. Die samendrukking is geen slordig boren; het is de geometrie van een multiplicatieve toonladder die een multiplicatieve onderlinge afstand afdwingt.

Echte gaten zijn niet het volledige boringgat. Een vingergat is kleiner dan de diameter van de buis, dus het is geen perfecte 'nieuwe eind': een deel van de lucht voelt nog steeds de buis eronder. Het effect is dat een open gat zich gedraagt alsof de pijp een beetje voorbij het gat eindigt, met een hoeveelheid die afhangt van de grootte van het gat en de wanddikte (er is een 'afsnijfrequentie' voor het open-gatrooster in de getast instrumenten). Makers compenseren door gaten te vergroten, hun randen te onderkutten en de boringprofiel fijn af te stellen: de gepubliceerde gatposities zijn de geometrie na deze correcties.

Cross-fingering is opzettelijk lengte-knutselen. De basisvingeringen geven je een diatonische toonladder: zeven noten. Om de chromatische noten te krijgen (F# versus F natuurlijk, B♭, enzovoort) cross-finger je: je maakt één gat open maar bedekt een gat eronder. Dat bedekte downstream gat voegt wat effectieve lengte toe en verhoogt de impedantie, zodat de noot een beetje lager uitkomt dan de kale vingerzetting zou geven: net genoeg om F# naar F natuurlijk te laten zakken, of waar je het nodig hebt. Cross-fingering is de speler die ingrijpt en de effectieve lengte met de hand bewerkt, omdat twaalf gelijkmatig verdeelde gaten niet onder tien vingers passen.

Het Plaatsen van de Gaten

Stel dat een eenvoudige blokfluit een effectieve luchtkolomlengte heeft van 33 cm met alle gaten bedekt (zijn laagste noot). Gebruik 2^(1/12) is ongeveer 1.0595, dus een halve toon hoger vermenigvuldigt de effectieve lengte met ongeveer 0.944.

Open Buiz, Gesloten Cilinder, Gesloten Kegel

Het Tweede Register Is de Harmonische Reeks, en de Boor Kies Welke Harmonischen Bestaan

Blaas een blokfluit een beetje harder, of (beter) knijp de achterste duimgat een spleetje open, en de luchtkolom springt naar een hogere modus: een hoger lid van de harmonische reeks van de buis. Welke hogere modi beschikbaar zijn, en dus hoe het bovenste register zich verhoudt tot het onderste, wordt volledig bepaald door de vorm van de boor: of de buis aan het rietuiteinde open of gesloten is, en of deze cilindrisch of conisch is.

Open aan beide uiteinden (blokfluit, fluit). Een buis die aan beide uiteinden open is, ondersteunt alle harmonischen: 1, 2, 3, 4, enzovoort. De tweede harmonische is twee keer de grondtoonfrequentie, wat de octaaf is. Dus een blokfluit of fluit blaast over naar het octaaf: het bovenste register herhaalt de vingerzettingen van het onderste register, een octaaf hoger. Daarom zijn de hoge noten van de blokfluit meestal de lage-noten vingerzettingen met het duimventiel open. Eenvoudig, regelmatig.

Cilindrisch, gesloten aan het rietuiteinde (klarinet). Het mondstukuiteinde van een klarinet is effectief een gesloten uiteinde (het riet sluit het af), en de boring is een cilinder. Een cilinder die aan één uiteinde gesloten is en aan het andere open, ondersteunt alleen de oneven harmonischen: 1, 3, 5, 7. De laagste beschikbare sprong is naar de derde harmonische, drie keer de grondtoonfrequentie, wat een octaaf plus een kwint is: een twaalfde. Dus een klarinet overblaast een twaalfde, niet een octaaf. Gevolgen: de vingerzettingen van het hogere register van de klarinet verschillen sterk van die van het lagere register (de beroemde 'break' die je moet oversteken), het heeft een ongewoon breed bereik voor een enkele buis (het moet de ontbrekende octaaf-naar-twaalfde kloof vullen met de basale vingerzettingen), en de klank is het kenmerkende 'holle' klarinetgeluid omdat de even harmonischen zwak zijn: alleen oneven harmonischen.

Kegelvormig, gesloten aan de top (hobo, fagot, saxofoon). Hier komt het counterintuïtieve deel. Een saxofoon heeft een enkel riet, dus het mondstukuiteinde is 'gesloten' zoals bij een klarinet: je zou alleen oneven harmonischen verwachten. Maar de boring van de saxofoon is een kegel, geen cilinder, en een volledige kegel gesloten aan de top gedraagt zich, voor zijn staande golven, als een buis open aan beide uiteinden: het ondersteunt alle harmonischen. Dus een saxofoon (en een hobo, en een fagot) overblaast naar het octaaf, zoals een fluit, ondanks het gesloten rietuiteinde: de kegelvormige boring 'repareert' het gesloten uiteinde. Dat is ook waarom de kegelvormige houtblazers een helderder, voller geluid hebben dan de klarinet: de even harmonischen zijn aanwezig. Boringvorm, een stukje pure meetkunde, bepaalt de registerrelatie en een groot deel van de klankkleur.

Waarom dit belangrijk is voor de opstap. Een blokfluitspeler die overstapt naar de fluit vindt de schoonste match, omdat beide open buizen zijn die het octaaf overblazen: de vingerzettingen van het hogere register echoën die van het lagere, net als op de blokfluit. Overstappen naar de saxofoon, die ook het octaaf overblaast, is bijna even schoon. Overstappen naar de klarinet betekent voor het eerst de twaalfde en de break ontmoeten: nog steeds heel leerbaar, omdat de speler al weet hoe 'een registerwisseling betekent een nieuwe set vingerzettingen' voelt, maar de boringmeetkunde is daar echt anders, en nu weet je waarom.

Octaaf of Twaalfde?

Een klarinet, een fluit en een saxofoon lopen een bandlokaal binnen.

Verhoudingen, Bitten, het Comma, en de Twaalfde Wortel van Twee

Intervallen Zijn Verhoudingen

Twee noten klinken consonant wanneer hun frequenties in een eenvoudige verhouding staan, omdat dan hun boventoonreeksen sterk overlappen en er weinig 'bitte' zijn (de langzame pulsering die je hoort wanneer twee nauwe frequenties interfereren). De klassieke verhoudingen: het octaaf is 2:1, de zuivere quint is 3:2, de zuivere kwart is 4:3, de grote terts is 5:4. Hoe eenvoudiger de verhouding, hoe beter de harmonischen aansluiten, hoe gladder het geluid. Bitfrequentie = het absolute verschil van de twee frequenties: twee snaren op 440 Hz en 442 Hz bitten twee keer per seconde, en een stemmer doodt de bit door die kloof te dichten. Stemmen op het oor is het minimaliseren van bitten.

De Pythagoras-komma: Zuivere kwinten sluiten de cirkel niet

Stapel twaalf perfecte kwinten en in principe zou je terug moeten landen op de noot waarmee je begon, twaalf kwinten en zeven octaven later. Maar (3/2)^12 is ongeveer 129.746, terwijl 2^7 = 128. Ze komen niet overeen: twaalf zuivere kwinten overschrijden zeven octaven met een verhouding van ongeveer 1.0136, wat grofweg 23.5 cents is (ongeveer een kwart toon). Deze kloof is de Pythagoras-komma. Het betekent dat je geen instrument kunt stemmen in zuivere 3:2-kwinten helemaal rond het klavier: ergens moet een kwint vals zijn, of je moet overal compromissen sluiten.

Gelijke temperament: Twaalf geometrisch gelijke stappen

Het moderne compromis: verdeel de octaaf in twaalf geometrisch gelijke stappen, elk met een frequentieverhouding van 2^(1/12) is ongeveer 1.05946. Nu heeft elke halve toon dezelfde verhouding, klinkt elke toonsoort hetzelfde, en kun je overal moduleren. De prijs: elke kwint is 700 cents in plaats van de zuivere 702 cents (een kwint iets te laag, nauwelijks hoorbaar), en elke grote terts is 400 cents in plaats van de zuivere 386 cents: dat is 14 cents te hoog, wat een goed oor kan horen, en daarom hebben gelijk-temperament tertsen een vage rusteloze schittering. Cents meten intervallen logaritmisch: cents = 1200 x log2(f2/f1), dus een octaaf is 1200 cents en elke gelijk-temperament halve toon is precies 100 cents.

Waarom de cirkel van kwinten een cirkel is

In gelijk temperament is een kwint precies 700 cents, en 12 x 700 = 8400 = 7 x 1200: twaalf gelijk-temperament kwinten zijn precies zeven octaven. Dus als je omhoog gaat met kwinten, C, G, D, A, E, B, Fis, Cis, Gis, Dis, Ais, F, en terug naar C, kom je exact terug waar je begon na twaalf stappen. De Pythagoras-komma is opgenomen: de spiraal van zuivere kwinten is gebogen tot een gesloten lus. Daarom wordt het diagram getekend als een cirkel met twaalf punten, één per kwint, die rondgaat. (Je kunt toonhoogte ook voorstellen als een helix: de twaalf toonhoogteklassen op een cirkel, octaafhoogte op een verticale as, zodat dezelfde letternaam recht omhoog stapelt.)

Waar een blokfluit mee leeft

Een blokfluit is in wezen vast: je kunt het kopstuk uittrekken om het hele instrument te stemmen, en kruisfingeren en zachte veranderingen in luchtsnelheid kunnen individuele noten een beetje bijstellen, maar je kunt midden in een frase een akkoord niet herstemmen zoals een strijkkwartet of een a cappella koor dat kan. Dus een blokfluit, net als een piano, leeft met de compromissen van gelijk temperament: de tertsen zijn een beetje te hoog, de kwinten een fractie te laag, en dat is prima omdat het consistent is. Een consort van blokfluiten kan naar zuivere intervallen neigen door zorgvuldige vingerkeuzes en luisteren, maar het instrument is gebouwd rond de twaalfde wortel van twee: het ruilt een beetje zuiverheid in elke toonsoort voor de vrijheid om in elke toonsoort te spelen.

De Cirkel Sluiten

Gebruik 1200 cents per octaaf en cents = 1200 x log2(verhouding).

Houtblazersgeometrie: Samenvatting

Wat Je Hebt Geleerd

Bijna alles aan een blaasinstrument is geometrie:

- Lengte bepaalt de toonhoogte. Voor een buis open aan beide uiteinden is f ongeveer v / (2L). Een luchtkolom van 33 cm klinkt ongeveer C5; halveer de lengte en je verdubbelt de frequentie, een octaaf. Elke vingerzetting is een lengte, en een toongat fungeert ruwweg als het nieuwe open uiteinde, dus de hoorbare toonhoogte is de afstand van het mondstuk tot het eerste open gat, wat verklaart waarom een bovenste gat de toonhoogte veel meer verandert dan een onderste.

- Gatplaatsing is een geometrische reeks. Elke gelijkzwevende halve toon is een frequentieverhouding van 2^(1/12), dus elke stap scheert een vast fractioneel deel (ongeveer 5,6 procent) van de effectieve lengte af: de gaten bunchen naar boven. Echte gaten zijn niet volboord, dus makers corrigeren met gatgrootte en onderfreesing, en spelers bereiken de chromatische noten met kruisvingeringen, handmatig de effectieve lengte bewerkend omdat twaalf gaten niet onder tien vingers passen.

- Boorgatvorm bepaalt het register. Een open buis (blokfluit, fluit) ondersteunt alle harmonischen en overblaast het octaaf. Een cilinder gesloten aan het rietuiteinde (klarinet) ondersteunt alleen oneven harmonischen en overblaast een twaalfde, wat het de 'break' geeft, een breed bereik op één buis, en een holle toon. Een kegel gesloten aan de top (saxofoon, hobo, fagot) gedraagt zich als een open buis, ondersteunt alle harmonischen, en overblaast het octaaf ondanks het gesloten rietuiteinde, met een helderdere toon. De fluit is de schoonste eerste stap van de blokfluit omdat beide octaaf-overblazende open buizen zijn.

- Toonhoogte zelf is een rooster van verhoudingen. Octaaf 2:1, kwint 3:2, kwarto 4:3, grote terts 5:4: eenvoudige verhoudingen overlappen boventonen en minimaliseren beats (beatfrequentie is het verschil van de twee frequenties). Twaalf pure kwinten overschrijden zeven octaven met de Pythagoreïsche komma, ongeveer 23,5 cents, dus gelijkzweving deelt het octaaf in twaalf geometrisch gelijke stappen van 2^(1/12): elke kwint 700 cents (2 te plat), elke terts 400 cents (14 te scherp), en nu zijn twaalf kwinten exact gelijk aan zeven octaven, wat de eindeloze spiraal van pure kwinten buigt tot de gesloten cirkel van kwinten. Een blokfluit, net als een piano, leeft in die compromis; een koor of strijkkwartet, met continue toonhoogte, kan leunen naar de pure verhoudingen.

Een blokfluit is een liniaal, een rij gaatjes die volgens een geometrische reeks zijn opgesteld, een buis waarvan de vorm bepaalt welke harmonischen hij bezit, en een deelnemer in een 700-cent-rooster dat zich sluit tot een cirkel. Geef een kind dat instrument en je hebt hun een akoestisch laboratorium gegeven dat toevallig 'Hot Cross Buns' speelt, en een sleutel die de fluit, de klarinet, de saxofoon en de hele geometrie van muziek ontsluit.