柏拉圖數學
哈明調查了關於數學是什麼的五個主要思想流派。沒有一個被證明完全令人滿意。
最古老的學派：柏拉圖主義。柏拉圖辯稱思想的世界——包括數學物件——比物理世界更真實。物理物件是完美、不可改變之形式的不完美、暫時的具體化。
應用於數學：數字7不是寫在頁面上的數字，不是七匹馬，不是七把椅子。抽象的數字7存在於純思想的領域。它沒有物理實例。你從未見過、聽過、摸過或聞過數字7本身——只有它在物理世界中的影子。
哈明的關鍵觀察：不管記號如何，7都是質數。在羅馬數字中（VII），在二進制中（111），在十六進制中（7）——質數性質不取決於表示法。這種記號獨立性是柏拉圖主義者所指的證據，說明數學物件的獨立存在。
形式主義：數學作為符號操作
與大衛·希爾伯特相關的形式主義學派採取相反的立場。數學是一場形式遊戲：選擇一組公理和推理規則，然後通過機械地應用規則推導定理。符號在形式系統之外沒有意義。
在這個觀點上，數學是發明的，不是發現的。不同的公理系統產生不同的數學。歐幾里得幾何和非歐幾里得幾何都是有效的——它們從不同的公理開始。
哈明的立場：他在做數學時表現得像柏拉圖主義者（他感覺他在發現預先存在的真理），但懷疑形式主義者在基礎上是正確的（沒有永恆的領域，只有我們選擇玩的形式遊戲）。
哈明對數學結果的實踐測試：不管哪個學派正確，在一致的形式系統內證明的定理是可靠的。哲學辯論不影響結果的工程價值。
數學與物理世界
1960年，物理學家尤金·維格納發表了一篇題為『數學在自然科學中不合理的有效性』的論文。論文主張：純數學家出於純粹抽象原因開發的數學不斷地被發現以驚人的精度描述物理現實。
哈明引用的例子：
- 馬克斯韋方程：從純粹的數學優雅和對稱性推導而來，它們預測了電磁波——特別是光速——在任何實驗驗證之前。
- 黎曼幾何：由伯恩哈德·黎曼在1850年代作為純數學開發，最初沒有物理應用。愛因斯坦在60年後使用它作為廣義相對論的數學框架。
- 量子力學：建立在希爾伯特空間、運算子代數和群論上——所有這些都是由數學家獨立開發的，出於抽象原因。
為什麼在心靈中開發的數學，出於純粹審美原因，應該如此精確地描述物理現實？柏拉圖主義者和形式主義者都沒有完全令人滿意的答案。
評估維格納的難題
維格納的觀察是引人注目的，但它可以被質疑。並非所有被開發的數學都被證明是有用的——只有那些最終描述某個東西的數學在物理歷史中倖存下來。也許選擇效應在發揮作用。
越抽象 = 越廣泛應用
哈明提出了一個違反直覺的主張：數學工具越抽象，應用範圍越廣。
具體數學：特定矩形面積的公式。適用於一個形狀。
抽象數學：域上的線性代數。適用於量子力學、電腦圖形、經濟學、數據壓縮、電路分析、統計——任何線性變換和向量出現的領域。
為什麼？抽象去除領域特定的內容，只留下結構。兩個具有相同結構的系統遵循相同的定理，即使一個涉及電場，另一個涉及概率分佈。
通用數學： 哈明注意到任何能夠進行星際通訊的文明必定發展了相同的數學。原因：數學從公理通過邏輯推導其定理，邏輯似乎是通用的。在任何記號中，數字7都是質數，因為質數性是一個結構性質，而不是記號性質。
抽象的價值
數學歷史包含許多抽象結構的例子，這些結構在開發時沒有應用，但後來成為物理學或工程學的基本工具。