प्लेटोनिक गणित
हैमिंग ने गणित क्या है इसके बारे में सोच के पाँच मुख्य स्कूलों की समीक्षा की। कोई भी पूरी तरह संतोषजनक साबित नहीं हुआ है।
सबसे पुराना स्कूल: प्लेटोनिज्म। प्लेटो ने तर्क दिया कि विचारों की दुनिया — गणितीय वस्तुओं सहित — भौतिक दुनिया से अधिक वास्तविक है। भौतिक वस्तुएँ परिपूर्ण, अपरिवर्तनीय रूपों की अपूर्ण, अस्थायी अभिव्यक्तियाँ हैं।
गणित पर लागू: संख्या 7 पृष्ठ पर लिखे गए अंक नहीं है, सात घोड़े नहीं है, सात कुर्सियाँ नहीं हैं। अमूर्त संख्या 7 शुद्ध विचारों के क्षेत्र में मौजूद है। इसका कोई भौतिक अवतार नहीं है। आपने कभी संख्या 7 को स्वयं नहीं देखा, सुना, छुआ, या सूँघा है — केवल भौतिक दुनिया में इसकी परछाइयाँ देखी हैं।
हैमिंग की मुख्य टिप्पणी: संकेतन की परवाह किए बिना, 7 अभाज्य है। रोमन अंकों में (VII), बाइनरी में (111), हेक्साडेसिमल में (7) — अभाज्यता संकेतन पर निर्भर नहीं करती है। यह संकेतन-स्वतंत्रता वह है जिसकी ओर प्लेटोनिस्ट गणितीय वस्तुओं के स्वतंत्र अस्तित्व के प्रमाण के रूप में इशारा करते हैं।
औपचारिकतावाद: गणित प्रतीक हेरफेर के रूप में
औपचारिकतावादी स्कूल, डेविड हिल्बर्ट के साथ जुड़ा हुआ, विपरीत स्थिति लेता है। गणित एक औपचारिक खेल है: स्वयंसिद्ध और अनुमान नियमों का एक सेट चुनें, फिर नियमों को यांत्रिक रूप से लागू करके प्रमेय प्राप्त करें। प्रतीकों का औपचारिक प्रणाली के बाहर कोई अर्थ नहीं है।
इस दृश्य पर, गणित का आविष्कार किया जाता है, खोज नहीं की जाती। विभिन्न स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ विभिन्न गणित का निर्माण करती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति दोनों मान्य हैं — वे विभिन्न स्वयंसिद्धों से शुरू होते हैं।
हैमिंग की स्थिति: वह गणित करते समय प्लेटोनिस्ट की तरह कार्य करता है (उसे लगता है कि वह पूर्व-मौजूदा सत्यों की खोज कर रहा है) लेकिन वह संदेह करता है कि औपचारिकतावादी नींव के बारे में सही हैं (कोई शाश्वत क्षेत्र नहीं है, केवल वह औपचारिक खेल जिसे हम खेलने के लिए चुनते हैं)।
हैमिंग की गणितीय परिणाम के लिए व्यावहारिक परीक्षा: चाहे कोई स्कूल सही हो, एक सुसंगत औपचारिक प्रणाली के भीतर सिद्ध एक प्रमेय विश्वसनीय है। दार्शनिक बहस परिणाम के इंजीनियरिंग मूल्य को प्रभावित नहीं करती है।
गणित और भौतिक दुनिया
1960 में, भौतिकविद् यूजीन विग्नर ने एक निबंध प्रकाशित किया जिसका शीर्षक था 'प्राकृतिक विज्ञानों में गणित की अयुक्तियुक्त प्रभावशीलता।' थीसिस: शुद्ध गणितज्ञों द्वारा विकसित गणित जो विशुद्ध रूप से अमूर्त कारणों से विकसित किया गया था, बार-बार अपरिहार्य सटीकता के साथ भौतिक वास्तविकता का वर्णन करने के लिए निकला।
हैमिंग द्वारा उद्धृत उदाहरण:
- मैक्सवेल के समीकरण: शुद्ध गणितीय सुंदरता & समरूपता से व्युत्पन्न, उन्होंने विद्युत चुम्बकीय तरंगों की भविष्यवाणी की — और विशेष रूप से, प्रकाश की गति — किसी भी प्रायोगिक सत्यापन से पहले।
- रिमैनियन ज्यामिति: 1850 के दशक में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा शुद्ध गणित के रूप में विकसित, मन में कोई भौतिक अनुप्रयोग के साथ नहीं। आइंस्टीन ने इसे 60 साल बाद सामान्य सापेक्षता के लिए गणितीय ढांचे के रूप में उपयोग किया।
- क्वांटम यांत्रिकी: हिल्बर्ट स्पेस, ऑपरेटर बीजगणित, और समूह सिद्धांत पर निर्मित — सभी स्वतंत्र रूप से अमूर्त कारणों से गणितज्ञों द्वारा विकसित।
मन में विकसित गणित, शुद्ध सौंदर्य कारणों से, भौतिक वास्तविकता को इतनी सटीकता से क्यों वर्णित करना चाहिए? न तो प्लेटोनिस्ट और न ही औपचारिकतावादियों के पास पूरी तरह संतोषजनक उत्तर है।
विग्नर की पहेली का मूल्यांकन
विग्नर की टिप्पणी striking है, लेकिन इसे प्रश्न किया जा सकता है। सभी गणित जो विकसित किए जाते हैं वह उपयोगी साबित नहीं होते — केवल वह गणित जो कुछ का वर्णन करने के लिए निकला वह भौतिकी के इतिहास में जीवित रहता है। शायद चयन प्रभाव काम कर रहा है।
अधिक अमूर्त = अधिक व्यापक रूप से प्रयोज्य
हैमिंग ने एक प्रतिकूल दावा किया: जितना अधिक एक गणितीय उपकरण अमूर्त है, उतना ही अधिक व्यापक रूप से यह लागू होता है।
ठोस गणित: एक विशिष्ट आयत के क्षेत्र का सूत्र। एक आकार पर लागू होता है।
अमूर्त गणित: एक क्षेत्र पर रैखिक बीजगणित। क्वांटम यांत्रिकी, कंप्यूटर ग्राफिक्स, अर्थशास्त्र, डेटा संपीड़न, सर्किट विश्लेषण, सांख्यिकी पर लागू होता है — कोई भी क्षेत्र जहाँ vectors और linear transformations उत्पन्न होते हैं।
क्यों? अमूर्तता domain-specific सामग्री को हटा देती है, केवल संरचना छोड़ देती है। दो प्रणालियाँ जिनकी संरचना एक समान हो, एक ही प्रमेयों का पालन करती हैं, भले ही एक विद्युत क्षेत्रों को शामिल करे और दूसरा संभावना वितरण को।
सार्वभौमिक गणित: हैमिंग ने नोट किया कि interstellar communication के लिए सक्षम कोई भी सभ्यता एक ही गणित विकसित किया होगा। कारण: गणित logic के माध्यम से axioms से प्रमेय प्राप्त करता है, और logic सार्वभौमिक प्रतीत होता है। संख्या 7 किसी भी संकेतन में अभाज्य है क्योंकि अभाज्यता एक संरचनात्मक संपत्ति है, notational नहीं।
अमूर्तता का मूल्य
गणित के इतिहास में अमूर्त संरचनाओं के कई उदाहरण हैं जो मन में कोई अनुप्रयोग के साथ विकसित किए गए थे जो बाद में भौतिकी या इंजीनियरिंग में आवश्यक उपकरण बन गए।