Platonik Matematik
Hamming, matematiğin ne olduğunu belirten beş ana okuldan anket yaptı. Hiçbiri tam olarak uygun olmadı.
En eski okul: Platonizm. Plato, fikirlerin dünyası - matematik nesneleri de dahil - somut dünyanın ötesinde daha gerçek olduğunu savundu. Fiziksel nesneler, mükemmel, değişmez formların kusurlu, geçici gerçekleştirmeleridir.
Matematiğe uygulandığında: 7 sayısı, sayfanın üzerinde yazılı olan rakam değil, yedi at değil, yedi sandalye. Soyut 7, saf fikirlerin bir dünyada yaşamaktadır. Fiziksel bir gerçekleştirmeye sahip değildir. 7'in kendisini görmemiş, işitmemiş, dokunmamış ve koklamamışsınızdır - sadece fiziksel dünyada var olan gölgelemeler.
Hamming'in ana gözlemi: VII olarak Roma rakamlarında (VII), 111 olarak ikili (binary) veya 7 olarak hexadecimal - asal olup olmadığı, temsil şekli üzerinde değil. Bu, Platonistlerin matematik nesnelerinin bağımsız varlığını gösteren bağımsız sembol bağımlılığıdır.
Formalizm: Matematik, Sembol İşlemi
Formalist okul, David Hilbert ile ilişkilendirilir ve tam tersi bir pozisyonda bulunur. Matematik, biçimsel bir oyundur: bir dizi ilke ve çıkarım kuralları seçin ve mekanik olarak kuralları uygulayarak teoremleri elde edin. Semboller, formel sistin dışında bir anlam taşımaz.
Bu görüşe göre, matematik icat edilir, keşif değildir. Farklı axiom sistemleri farklı matematik üretir. Eukleid geometrisi ve olmayan Eukleid geometrisi de hem geçerli hem de farklı axiom'lardan başlar.
Hamming'in pozisyonu: matematik yaparken Platonist gibi davrandığını (matematiksel gerçekler keşif olduğunu hissetmektedir) ama formel oyunu seçtiğimizde temelinin olmadığını düşünüyor.
Hamming'in matematiksel bir sonucu pratik testi: doğru bir formel sistemin içinde kanıtlanmış bir teorem, ne olursa olsun okulun doğru olduğu konusunda anlaşmazlık, mühendislik açısından sonucun değerini etkilemez.
Matematik ve Fiziksel Dünya
1960 yılında, fizikçi Eugene Wigner, 'Fiziksel Bilimler İçin Matematikte Aşırı Mantıklı Etkinlik' adlı bir deneme yayınladı. Tez: saf matematikçiler tarafından tamamen soyut nedenlerle geliştirilen matematik, fiziksel gerçekliği şaşırtıcı doğrulukla tanımlamaya devam ediyor.
Hamming tarafından gösterilen örnekler:
- Maxwell denklemleri: saf matematiksel güzellik ve simetri nedeniyle çıkarıldı ve elektromanyetik dalgalar - ve özellikle ışık hızı - önceden herhangi bir deneysel doğrulama olmadan tahmin edildi.
- Riemann geometrisi: 1850'lerde Bernhard Riemann tarafından tamamen soyut amaçlar için geliştirildi ve fiziksel bir uygulaması yoktu. Einstein, genel relativite için 60 yıl sonra bu matematiksel çerçeveyi kullandı.
- Kuantum mekaniği: Hilbert uzayları, operatör algebraları ve grup teorisi üzerine inşa edildi - tüm bunlar saf matematikçiler tarafından soyut nedenlerle bağımsız olarak geliştirildi.
Matematik, zihinde geliştirildi ve tamamen estetik nedenlerle, fiziksel gerçekliği bu kadar kesin bir şekilde tanımlamaya neden neden olmalı? Platonistler veya Formalistler tam olarak tatmin edici bir yanıt sunamıyor.
Wigner'in Çıkmazı'nı Değerlendirmek
Wigner'in gözleminde güçlü bir etkendir, ancak sorgulanabilir. Geliştirilen tüm matematiklerin işe yaramadığı söylenemez - sadece doğa açıklamaya yönelik matematik kalmıştır. Belki de seçilim etkisi iş görüyor.
Daha Soyut = Daha Geniş Bir Yaygın Uygulama
Hamming, mantıklı bir iddia ortaya koydu: bir matematiksel araç ne kadar soyutsa, o kadar daha geniş bir alanda uygulanır.
Somut matematik: belirli bir dikdörtgenin alan formülü. Bir şekle uygulanan.
Soyut matematik: bir alan üzerinde lineer cebir. Kuantum mekaniği, bilgisayar grafikleri, ekonomi, veri sıkıştırması, devre analizi, istatistik - vektörler ve lineer değişimlerin ortaya çıktığı herhangi bir alanda uygulanabilir.
Neden? Abstraksiyon, alan-specific içeriği siler ve sadece yapıyı bırakır. Aynı yapıya sahip iki sistem, aynı teoremlere uyar, hatta biri elektrik alanları içeriyorsa diğeri olasılık dağılımları içerir.
Evrensel matematik: Hamming, herhangi bir uygarlık, uzay iletişim kapasitesine sahipse, aynı matematikleri geliştirmiş olmalıdır. Neden: Matematik, aksiyomları mantıkla kullanarak teoremlere ulaşır ve mantık evrensel görünür. 7 sayısı, notasyon bağımsız olarak asaldır çünkü asallık bir yapısal özelliktir, bir notasyon özelliğidir.
Abstraksiyonun Değeri
Matematik tarihi, birçok örnekle doludur. Alanla alakalı herhangi bir uygulama düşünülmeden soyut yapılar geliştirildi ve daha sonra fizik veya mühendislikte esnek araçlar haline geldi.