Platonik Matematik
Hamming, matematiğin ne olduğu hakkında beş ana düşünce okulunu inceledi. Hiçbiri tamamen tatmin edici olmamıştır.
En eski okul: Platonizm. Platon, fikir dünyasının — matematiksel nesneler de dahil — fiziksel dünyadan daha gerçek olduğunu savundu. Fiziksel nesneler, mükemmel ve değişmez formların kusurlu, geçici örnekleridir.
Matematik alanına uygulandığında: 7 sayısı sayfaya yazılan rakam değildir, yedi at değildir, yedi sandalye değildir. Soyut 7 sayısı saf fikirler alanında var olur. Hiçbir fiziksel somutlaştırması yoktur. 7 sayısının kendisini hiçbir zaman görmemiş, duymamış, dokunmamış veya koklamamışsınızdır — sadece fiziksel dünyada onun gölgelerini görmüşsünüz.
Hamming'in önemli gözlemi: gösterim ne olursa olsun, 7 asaldır. Roma rakamlarında (VII), ikili sayı sisteminde (111), onaltılı sistemde (7) — asallık gösterimin şekline bağlı değildir. Bu gösterim-bağımsızlık, Platonistlerin matematiksel nesnelerin bağımsız varlığına kanıt olarak gösterdikleri şeydir.
Formalizm: Sembol İşlemesi Olarak Matematik
Formalist okul, David Hilbert ile ilişkili, karşıt pozisyon alır. Matematik formal bir oyundur: bir dizi aksiyom ve çıkarım kuralı seçin, sonra kuralları mekanik olarak uygulayarak teoremler türetin. Sembollerin formal sistem dışında hiçbir anlamı yoktur.
Bu görüşe göre matematik keşfedilmemiş, icat edilmiştir. Farklı aksiyom sistemleri farklı matematik üretirler. Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometri her ikisi de geçerlidir — farklı aksiyomlardan başlarlar.
Hamming'in pozisyonu: matematik yaparken Platonist gibi davranır (önceden var olan gerçekleri keşfettiğini hisseder) ancak Formalistlerin temeller hakkında haklı olduğundan şüphelenir (sonsuz bir alem yoktur, sadece oynamayı seçtiğimiz formal oyun).
Hamming'in matematiksel sonuç için pratik testi: hangi okul doğru olursa olsun, tutarlı bir formal sistem içinde kanıtlanmış bir teorem güvenilirdir. Felsefi tartışma, sonucun mühendislik değerini etkilemez.
Matematik ve Fiziksel Dünya
1960 yılında, fizikçi Eugene Wigner 'Doğa Bilimlerinde Matematiğin Makul Olmayan Etkililği' başlıklı bir makale yayınladı. Tezi: saf matematikçiler tarafından tamamen soyut nedenlerle geliştirilen matematik, fiziksel gerçekliği düşündürücü bir hassasiyetle tanımladığını ortaya çıkarır.
Hamming'in örnek verdiği durumlar:
- Maxwell denklemleri: saf matematiksel zarafet ve simetriden türetilen, elektromanyetik dalgaları — spesifik olarak ışık hızını — herhangi bir deneysel doğrulama öncesinde öngördüler.
- Riemann geometrisi: 1850'lerde Bernhard Riemann tarafından saf matematik olarak geliştirildi, hiçbir fiziksel uygulama düşünülmeden. Einstein bunu 60 yıl sonra genel göreliliğin matematiksel çerçevesi olarak kullandı.
- Kuantum mekaniği: Hilbert uzayları, operatör cebirleri ve grup teorisi üzerine inşa edildi — tümü bağımsız olarak matematikçiler tarafından soyut nedenlerle geliştirildi.
Neden zihin tarafından geliştirilmiş, tamamen estetik nedenlerle geliştirilen matematik, fiziksel gerçekliği bu kadar kesin bir şekilde tanımlamalıdır? Ne Platonistler ne de Formalistler tamamen tatmin edici bir cevaplandırma yapmışlardır.
Wigner'in Bulmacasını Değerlendirme
Wigner'in gözlemi dikkat çekicidir, ancak sorgulanabilir. Geliştirilen matematiğin tümü kullanışlı ortaya çıkmaz — sadece fizikte bir şeyi tanımladığı sonuçlanan matematik fizik tarihinde hayatta kalır. Belki de seçim etkisi çalışma yapıyor.
Daha Soyut = Daha Geniş Uygulanabilir
Hamming sezgisel olmayan bir iddia yaptı: matematiksel bir araç ne kadar soyut olursa, o kadar geniş uygulanır.
Somut matematik: belirli bir dikdörtgenin alanı için formül. Tek bir şekle uygulanır.
Soyut matematik: bir alan üzerinde doğrusal cebir. Kuantum mekaniğine, bilgisayar grafiğine, ekonomiye, veri sıkıştırmaya, devre analizine, istatistiğe uygulanır — vektörlerin ve doğrusal dönüşümlerin ortaya çıktığı herhangi bir alanda.
Neden? Soyutlama, etki alanına özgü içeriği çıkarır ve sadece yapıyı bırakır. Aynı yapıya sahip iki sistem, biri elektrik alanlarını ve diğeri olasılık dağılımlarını içerse bile, aynı teoremleri takip ederler.
Evrensel matematik: Hamming, yıldızlar arası iletişim yapabilen herhangi bir medeniyetin aynı matematiği geliştirmiş olması gerektiğini belirtti. Neden: matematik, aksiyomlardan mantık yoluyla teoremler türetir ve mantık evrensel görünür. 7 sayısı, asallığı gösterimin şekline bağlı olmadığı için herhangi bir gösterimde asaldır.
Soyutlamanın Değeri
Matematik tarihi, aklında hiçbir uygulanma amacı olmadan geliştirilen soyut yapıların daha sonra fizik ve mühendislikte çok alan yöneticisi araçlar haline geldikleri birçok örneğini içerir.