プラトン主義数学
ハミングは数学とは何かについての5つの主要な思想流派を調査した。しかしどれも完全に満足できるものではなかった。
最も古い学派：プラトン主義。プラトンは、観念の世界——数学的対象を含む——は物理的世界よりも現実性が高いと主張した。物理的対象は、完全で不変の形式の不完全な、一時的な具現化である。
数学への応用：数字の7はページに書かれた数字ではない。7頭の馬でもなく、7つの椅子でもない。抽象的な数字の7は純粋な観念の領域に存在する。それは物理的な具現化を持たない。あなたは数字の7そのものを見たことも、聞いたことも、触ったことも、嗅いだこともない——物理的世界での影だけである。
ハミングの重要な観察：表記法に関わらず、7は素数である。ローマ数字（VII）で、二進法（111）で、十六進法（7）で——素数性は表現方法に依存しない。この表記法からの独立性が、プラトン主義者が数学的対象の独立した存在の証拠として指摘するものである。
形式主義：記号操作としての数学
形式主義派はデイビッド・ヒルベルトに関連し、反対の立場を取る。数学は形式的なゲームである。公理系と推論規則の集合を選択し、規則を機械的に適用して定理を導き出す。記号は形式体系の外では意味を持たない。
この見方では、数学は発見されるのではなく、発明されるのである。異なる公理体系は異なる数学を生み出す。ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の両方が有効である——それらは異なる公理から始まる。
ハミングの立場：彼は数学をするときにプラトン主義者のように振る舞う（既に存在する真理を発見していると感じる）が、形式主義者がその基礎について正しいのではないかと疑っている（永遠の領域はなく、私たちが選んでプレイする形式的なゲームがあるだけである）。
数学的結果に対するハミングの実用的なテスト：どの学派が正しいかに関わらず、一貫性のある形式体系内で証明された定理は信頼できる。哲学的議論は結果の工学的価値に影響を与えない。
数学と物理的世界
1960年、物理学者ユージン・ウィグナーは『自然科学における数学の理不尽な有効性』と題された論文を発表した。論旨：純粋数学者によって純粋に抽象的な理由のために開発された数学が、驚くほどの正確さで物理的現実を記述することが繰り返し判明している、ということである。
ハミングが挙げた例：
- マクスウェルの方程式：純粋な数学的優雅さと対称性から導き出され、実験的検証の前に電磁波——特に光の速度——を予測した。
- リーマン幾何学：1850年代にベルンハルト・リーマンによって純粋数学として開発され、物理的応用を念頭に置かなかった。アインシュタインはそれから60年後、一般相対性理論の数学的枠組みとしてそれを使用した。
- 量子力学：ヒルベルト空間、作用素代数、群論に基づいており——これらはすべて抽象的な理由のために数学者によって独立して開発されたものである。
なぜ心で開発された、純粋に美的な理由で開発された数学が、物理的現実を非常に正確に記述するのか？プラトン主義者も形式主義者も完全に満足のいく答えを持っていない。
ヴィグナーのパラドックスを評価する
ヴィグナーの観察は衝撃的であるが、疑問の余地がある。開発されたすべての数学が有用であることが判明するわけではない——何かを記述することになる数学だけが物理学の歴史に生き残っている。おそらく選別効果が機能しているのである。
より抽象的 = より広く適用可能
ハミングは直感に反する主張をした：数学的なツールが抽象的であるほど、それはより広く適用される。
具体的な数学：特定の矩形の面積の公式。1つの形状に適用される。
抽象的な数学：体上の線形代数。量子力学、コンピュータグラフィックス、経済学、データ圧縮、回路解析、統計学——ベクトルと線形変換が生じるあらゆるドメイン。
なぜか？抽象化はドメイン固有の内容を取り除き、構造だけを残す。同じ構造を持つ2つのシステムは、一方が電場を含み他方が確率分布を含む場合でも、同じ定理に従う。
普遍的な数学：ハミングは、星間通信ができる文明は必然的に同じ数学を開発しているに違いないと指摘した。理由：数学はその定理を公理と論理から導き出すが、論理は普遍的に見える。どんな表記法でも7が素数なのは、素数性が表記法的なものではなく、構造的な性質だからである。
抽象化の価値
数学の歴史は、当初は応用を念頭に置かずに開発された抽象的な構造が、後に物理学や工学で不可欠なツールになった例に満ちている。