Платонова математика
Хэмминг рассмотрел пять основных школ мысли о том, что такое математика. Ни одна из них не оказалась полностью удовлетворительной.
Самая древняя школа: платонизм. Платон утверждал, что мир идей — включая математические объекты — более реален, чем физический мир. Физические объекты являются несовершенными, временными воплощениями совершенных, неизменяемых форм.
Применяя к математике: число 7 — это не цифра, написанная на странице, не семь лошадей, не семь стульев. Абстрактное число 7 существует в царстве чистых идей. Оно не имеет физического воплощения. Вы никогда не видели, не слышали, не трогали и не чувствовали запах самого числа 7 — только его тени в физическом мире.
Ключевое наблюдение Хэмминга: независимо от нотации, 7 — простое число. В римских цифрах (VII), в двоичной системе (111), в шестнадцатеричной (7) — простота не зависит от представления. Эта независимость от нотации — это то, на что платонисты указывают как на доказательство независимого существования математических объектов.
Формализм: математика как манипуляция символами
Школа формализма, связанная с Давидом Гильбертом, занимает противоположную позицию. Математика — это формальная игра: выбирают набор аксиом и правила вывода, затем выводят теоремы, механически применяя эти правила. Символы не имеют значения вне формальной системы.
С этой точки зрения математика изобретается, а не открывается. Разные системы аксиом порождают разные математики. Евклидова геометрия и неевклидова геометрия одинаково верны — они начинаются с разных аксиом.
Позиция Хэмминга: он действует как платонист при работе с математикой (ему кажется, что он открывает уже существующие истины), но подозревает, что формалисты правы в вопросе основ (нет вечного царства, только формальная игра, которую мы выбираем играть).
Практический тест Хэмминга для математического результата: независимо от того, какая школа правильна, теорема, доказанная в непротиворечивой формальной системе, надежна. Философский спор не влияет на инженерную ценность результата.
Математика и физический мир
В 1960 году физик Евгений Вигнер опубликовал статью под названием 'Необоснованная эффективность математики в естественных науках'. Тезис: математика, разработанная чистыми математиками в чисто абстрактных целях, постоянно оказывается способной описывать физическую реальность с поразительной точностью.
Примеры, приведенные Хэммингом:
- Уравнения Максвелла: выведены из чистой математической элегантности и симметрии, они предсказали электромагнитные волны — и в частности скорость света — до любой экспериментальной проверки.
- Риманова геометрия: разработана Бернхардом Риманом в 1850-х годах как чистая математика, без намерения физического применения. Эйнштейн использовал её 60 лет спустя как математическую основу для общей теории относительности.
- Квантовая механика: построена на гильбертовых пространствах, операторных алгебрах и теории групп — всё это было независимо разработано математиками в абстрактных целях.
Почему математика, разработанная в уме в чисто эстетических целях, должна описывать физическую реальность с такой точностью? Ни платонисты, ни формалисты не имеют полностью удовлетворительного ответа.
Оценка парадокса Вигнера
Наблюдение Вигнера впечатляет, но его можно подвергнуть сомнению. Не вся разработанная математика оказывается полезной — только математика, которая в итоге описывает что-то, выживает в истории физики. Возможно, эффект отбора делает всю работу.
Более абстрактное = более широко применимое
Хэмминг сделал контринтуитивное заявление: чем более абстрактным является математический инструмент, тем шире он применяется.
Конкретная математика: формула для площади конкретного прямоугольника. Применяется к одной форме.
Абстрактная математика: линейная алгебра над полем. Применяется к квантовой механике, компьютерной графике, экономике, сжатию данных, анализу цепей, статистике — любой области, где возникают векторы и линейные преобразования.
Почему? Абстракция удаляет содержание, специфичное для области, оставляя только структуру. Две системы с одной и той же структурой подчиняются одним и тем же теоремам, даже если одна включает электрические поля, а другая — распределения вероятности.
Универсальная математика: Хэмминг отметил, что любая цивилизация, способная к межзвездной коммуникации, должна была разработать одну и ту же математику. Причина: математика выводит свои теоремы из аксиом через логику, а логика кажется универсальной. Число 7 — простое в любой нотации, потому что простота — это структурное свойство, а не нотационное.
Ценность абстракции
История математики содержит множество примеров абстрактных структур, разработанных без какого-либо приложения в виду, которые позже стали необходимыми инструментами в физике или инженерии.