Matemáticas Platónicas
Hamming examinó cinco escuelas principales de pensamiento sobre qué son las matemáticas. Ninguna ha resultado completamente satisfactoria.
La escuela más antigua: Platonismo. Platón argumentó que el mundo de las ideas — incluyendo los objetos matemáticos — es más real que el mundo físico. Los objetos físicos son instantiaciones imperfectas y temporales de formas perfectas e inmutables.
Aplicado a las matemáticas: el número 7 no es el numeral escrito en una página, no son siete caballos, no son siete sillas. El número abstracto 7 existe en un reino de ideas puras. No tiene instantiación física. Nunca has visto, escuchado, tocado u olido el número 7 en sí — solo sus sombras en el mundo físico.
La observación clave de Hamming: independientemente de la notación, 7 es primo. En números romanos (VII), en binario (111), en hexadecimal (7) — la primaridad no depende de la representación. Esta independencia de la notación es a la que los platónicos apuntan como evidencia de la existencia independiente de los objetos matemáticos.
Formalismo: Matemáticas como Manipulación de Símbolos
La escuela Formalista, asociada con David Hilbert, toma la posición opuesta. Las matemáticas son un juego formal: elige un conjunto de axiomas y reglas de inferencia, luego deriva teoremas aplicando mecánicamente las reglas. Los símbolos no tienen significado fuera del sistema formal.
Bajo esta vista, las matemáticas son inventadas, no descubiertas. Diferentes sistemas de axiomas producen diferentes matemáticas. La geometría euclidiana y la geometría no euclidiana son ambas válidas — comienzan desde diferentes axiomas.
La posición de Hamming: actúa como un platónico cuando hace matemáticas (siente que está descubriendo verdades pre-existentes) pero sospecha que los formalistas tienen razón sobre los fundamentos (no hay ningún reino eterno, solo el juego formal que elegimos jugar).
La prueba práctica de Hamming para un resultado matemático: independientemente de cuál escuela sea correcta, un teorema probado dentro de un sistema formal consistente es confiable. El debate filosófico no afecta el valor de ingeniería del resultado.
Matemáticas y el Mundo Físico
En 1960, el físico Eugene Wigner publicó un ensayo titulado 'La Efectividad Irrazonable de las Matemáticas en las Ciencias Naturales'. La tesis: las matemáticas desarrolladas por matemáticos puros por razones puramente abstractas resultan describir la realidad física con precisión inquietante.
Ejemplos que Hamming citó:
- Las ecuaciones de Maxwell: derivadas de pura elegancia matemática & simetría, predijeron ondas electromagnéticas — y específicamente, la velocidad de la luz — antes de cualquier verificación experimental.
- Geometría riemanniana: desarrollada por Bernhard Riemann en los años 1850 como matemática pura, sin ninguna aplicación física en mente. Einstein la usó 60 años después como el marco matemático para la relatividad general.
- Mecánica cuántica: construida sobre espacios de Hilbert, álgebras de operadores, y teoría de grupos — todos desarrollados independientemente por matemáticos por razones abstractas.
¿Por qué las matemáticas desarrolladas en la mente, por razones puramente estéticas, deberían describir la realidad física tan precisamente? Ni los platónicos ni los formalistas tienen una respuesta completamente satisfactoria.
Evaluando el Acertijo de Wigner
La observación de Wigner es impactante, pero puede ser cuestionada. No todas las matemáticas que se desarrollan resultan ser útiles — solo las matemáticas que terminan describiendo algo sobreviven en la historia de la física. Tal vez el efecto de selección es lo que está haciendo el trabajo.
Más Abstracto = Más Ampliamente Aplicable
Hamming hizo una afirmación contraintuitiva: cuanto más abstracta es una herramienta matemática, más ampliamente se aplica.
Matemáticas concretas: la fórmula para el área de un rectángulo específico. Se aplica a una forma.
Matemáticas abstractas: álgebra lineal sobre un cuerpo. Se aplica a mecánica cuántica, gráficos por computadora, economía, compresión de datos, análisis de circuitos, estadística — cualquier dominio donde surjan vectores y transformaciones lineales.
¿Por qué? La abstracción elimina contenido específico del dominio, dejando solo estructura. Dos sistemas con la misma estructura obedecen los mismos teoremas, incluso si uno involucra campos eléctricos y el otro involucra distribuciones de probabilidad.
Matemáticas universales: Hamming notó que cualquier civilización capaz de comunicación interestelar debe haber desarrollado las mismas matemáticas. La razón: las matemáticas derivan sus teoremas de axiomas a través de la lógica, y la lógica parece universal. El número 7 es primo en cualquier notación porque la primaridad es una propiedad estructural, no una notacional.
El Valor de la Abstracción
La historia de las matemáticas contiene muchos ejemplos de estructuras abstractas desarrolladas sin aplicación en mente que luego se convirtieron en herramientas esenciales en física o ingeniería.